Question

Babcia i dziadek mają razem 140 lat. Dziadek ma 2razy tyle ile babcia miała wtedy kiedy dziadek miał tyle ile babcia ma teraz. Ile lat mają babcia i dziadek?

Answer 1

Rozwiązanie: W tej chwili (oznaczmy myślowo ten moment czasu jakoTERAZ) dziadek ma d [lat], zaś babcia b [lat].   
Razem mają: d + b = S.
W pewnej chwili w przeszłości (określmy ją roboczo jako KIEDYŚ) dziadek miał tyle, ile babcia TERAZ, czyli b [lat], a babcia miała połowę tego, co dziadekTERAZ, czyli d/2 [lat].
Pomiędzy KIEDYŚ, a TERAZ minęło r [lat], przy czym nie wiemy, ile to r wynosi.
 Wiek dziadka zmienił się z b [lat] na d [lat], a babci z d/2 [lat] na b [lat].
 Wynika więc z tego, że:d = b + r (to zapis starzenia się dziadka) [1]b = d/2 + r (to zapis starzenia się babci) [2]Generalnie możemy więc zapisać:TERAZ: d + b = S [3]KIEDYŚ: b + d/2 = S – 2*r [4](Odejmujemy 2*r, a nie r, bo r lat minęło zarówno dla dziadka, jak i dla babci).TERAZ = KIEDYŚ + r [5]Z wzoru [1] wyliczmy r = d – b i podstawiamy do wzoru [4]. Otrzymujemy:b + d/2 = S – 2*rb + d/2 = S – 2*(d – b)b + d/2 = S – 2*d + 2*b / mnożymy obie strony przez 22*b + d = 2*S – 4*d + 4*b / przenosimy b i d na jedną stronę2*b – 4*b + d + 4*d = 2*S5*d – 2*b = 2*S [6]Z wzoru [3] wyliczamy d = S – b i podstawiamy do wzoru [6]:5*(S – b) – 2*b = 2*S5*S – 5*b – 2*b = 2*S / grupujemy stronami- 5*b – 2*b = – 5*S + 2*S- 7*b = – 3*S / mnożymy obie strony przez (-1)7*b = 3*Sb = 3*S/7 [7]Podstawiamy wynik [7] do wzoru [3], skąd wyliczamy d:d + b = Sd = S – b = S – 3*S/7 = 4*S/7d = 4*S/7 [8]Wzory [7] i [8] są rozwiązaniami problemu. Dla S = 140 otrzymujemy: b = 3*140/7 = 3*20 = 60 [lat] oraz d= 4*140/7 = 4*20 = 80 [lat]Sprawdzenie: Babcia ma więc TERAZ 60 lat, a dziadek 80 lat. Razem mają 80 + 60 = 140 lat. KIEDYŚ (czyli r = d – b = 80 – 60 = 20 lat temu) babcia miała 40 lat, zaś dziadek 60 lat. Wiek dziadka TERAZ (80 lat) równa się podwojonemu wiekowi babci KIEDYŚ (2 * 40 = 80). Rozwiązanie jest zatem poprawne.    Liczę na naj ;)