Question

an = 0,6n-1 jest ciągiem rosnącym?
an = 7-2n jest ciągiem malejącym?


an = 2n² - 3n + 1 jest równy zero

Answer 1

1.które z wyrazów ciągu an sa równe ;
(n²-4)(n²-3)(n-5)=0

an = (n²-4)(n²-3)(n-5)=0
(n-2)(n +2)(n-√3)(n+√3)(n-5)= 0

n-2 = 0, lub n +2 = 0, lub n-√3 = 0, lub n +√3 = 0, lub n-5 = 0
n =2, lub n = -2, lub n = √3, lub n = -√3, lub n = 5

Ponieważ n ∈ N, więc rozwiazaniem nie jest n = -2, n=√3, n = -√3

Odp. n= 2 i n = 5 , czyli drugi i piąty wyraz ciagu jest równy zero

2.które wyrazy ciągu są ujemne;
an = -n²+10n+11
an < 0
-n²+10n+11 < 0
Δ = 10² - 4(-1)*11 = 100 + 44 = 144
√Δ= √144 = 12
n1 = (-10-12): 2*(-1) = (-22): (-2) = 11
n2 = (-10 +12) :2*(-1) = 2 : (-2) = -1
zaznaczam pierwiastki na osi Ox i rysuje parabole ramionami skierowaną w dół ( bo współczynnik przy x² jest ujemny) i zaznaczam przedziały dla których nierówność jest mniejsza od zera
n ∈ ( -1, 11)
Ponieważ n musi być liczbą calkowitą dodatnią , to rozwiazaniem jest
n ∈ < 1, 10 >
n = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Odp.n = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} wyrazy ciagu -n²+10n+11 są ujemne

3.zbadaj monotoniczność ciągu;
2n+3
an =₋₋₋₋₋₋₋₋
n+1

an = (2n+3) : (n+1)
Aby sprawdzić monotoniczność ciągu( czy jest rosnacy, czy malejący) należy utworzyć wyraz następny.
Trzeba w miejsce n wstawić n+1
a(n+1) = [2(n+1)+3] : [ n+1 +1]
a(n+1) = [2n +2 +3] : [ n +2]
a(n+1) = [2n +5] : [ n+2]

Teraz należy skorzystać z definicji ciagu rosnacego lu malejącego;
Ciąg jest rosnacy gdy różnica a(n+1) - an jest dodatnia
Ciąg jest malejący gdy różnica a(n+1) - an jest ujemna

a(n+1) -an = [2n +5] : [ n+2] - (2n+3) : (n+1)
sprowadzam do wspólnego mianownika
wspólny mianownik to: (n +2)(n +1)

a(n+1) -an = [ (2n+5)(n+1) -(2n+3)(n+2)] : [(n +2)(n +1)]
a(n+1) -an = [ 2n² +2n +5n +5 - (2n² +4n+3n +6] : [(n +2)(n +1)]
a(n+1) -an = [ 2n² +7n +5 - 2n² -7n -6] : [(n +2)(n +1)]
a(n+1) -an = (-1) : [(n +2)(n +1)]

Otrzymany iloraz jest ujemny, ponieważ -1 jest ujemne i n jest liczba naturalną (całkowitą dodatnią) zatem (n+2) jest wieksze od zera i ( n+1) jest wieksze od zera.

Odp. Ciag an = (2n+3) : (n+1) jest malejący

4.znajdż 15 wyraz ciągu jeśli;
a₅=3
a₈=8

a5 = 3
a8 = 8

Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego:
an = a1 +(n-1)*r

a5 = a1 + 4r = 3
a8 = a1 +7r = 8

a1 + 4r = 3
a1 +7r = 8

a1 = 3 -4r
3-4r +7r = 8

a1 = 3 -4r
3r = 8 -3

a1 = 3 -4r
r = 5/3

a1 = 3 -4*(5/3) = 9/3 - 20/3 = -11/3
r = 5/3

a15 = a1 + 14r
a15 = -11/3 + 14*(5/3)
a15 = -11/3 +70/3
a15 = 59/3
a15 = 19⅔

Answer 2

Nie rozumiem tego...

Moze ktos inny ci pomoze :/