Alguien me puede ayudar con la siguiente integral, O por lo menos un indicio de cómo resolverla, Gra.... Question from @jhespz

November 2018 1 48 Report

Alguien me puede ayudar con la siguiente integral, O por lo menos un indicio de cómo resolverla, Gracias. (e)=euler.

seeker17 Bueno, la idea es aplicar una integración por partes,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT$

consideramos el criterio de ILATE: entonces u=T, entonces du=dT, y dv=e^{-2T}dT e integramos, v=-e^{-2T}/2 entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-T\frac{e^{-2T}}{2}\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{-\frac{e^{-2T}}{2}}dT$

usando algunas propiedades de las integrales...podemos simplificar de la siguiente forma...y también usando las leyes de los exponentes, entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-2T}}dT$

ahora, esa integral, ya esmucho más fácil, entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(-\frac{e^{-2T}}{2}\right|_{-\infty}^{\infty} \\ \\ \\ ...=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}$

para hallar el valor, debemos usar el teorema fundamental del cálculo para integrales impropias, entonces,

$\displaystyle\int_{b}^{a}{F(x)}dx=F(b)-F(a)=\lim_{x\rightarrow b}}{F(x)}-\lim_{x\rightarrow a^{+}}F(x)$

ahora,

$\displaystyle F(b)-F(a)=\lim_{b\rightarrow-\infty }\left({-\frac{1}{2e^{2b}}}b-\frac{1}{4e^{2b}}\right)=\infty \\ \\ F(b)-F(a)=\lim_{b\rightarrow+\infty }\left({-\frac{1}{2e^{2b}}}b-\frac{1}{4e^{2b}}\right)=0 \\ \\ ...=0-\infty \\ \\ Integral=-\infty$

y eso sería todo

0 votes Thanks 1

jhespz Al final, cuando evaluaste el límite para ambos, el resultado no sería cero? pues quedarían constantes sobre infinitos, (0-0) no? cuando bajaste el euler para simplificar al expresión el exponente no quedaba positivo?

seeker17 Haber, para tu primera duda, es que, el límite es menos infinito, entonces, vuelve a subir al numerador....el el segundo, si se hacer cero, porque es más infinito...ten cuidado con el signo...y para tu segunda duda,es cierto, ahí es positivo..ya lo corrijo

jhespz perfecto, gracias.