Question

a)który z prostokątów o obwodzie 60 cm ma największe pole?
b)Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 16 cm i ramieniu 10 cm.Dwa wierzchołki prostokąta należą do podstawy tego trójkąta, pozostałe dwa do jego ramion.Wyznacz największe możliwe pole prostokąta.

Answer 1

Odpowiedź:
Pole prostokąta jest wyrażone wzorem P = a * b
gdzie: a,b - boki prostokąta

a) Przeanalizujmy dane
a - bok prostokąta
b- 2 bok prostokąta
Obwód wynosi 60cm. Obwód oznaczmy jako Ob. Stąd mamy:
Ob=2a+2b ||:2
Ob:2=a+b
30cm =a+b
a=30cm-b
Wyraźmy pole w zależności od jednej zmiennej.
[tex](30cm-b)*b=30b-b^2=b^2-30b\ cm[/tex]

Jest to parabola. Największa jej wartość będzie dla jej wierzchołka.
[tex]x_w=\frac{-b}{2a}[/tex] gdzie a,b,c - współczynniki równania kwadratowego.
W naszym przypadku:
[tex]x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-30cm)}{2} =15cm[/tex]
Drugi bok 30cm-15cm=15cm

Zatem będzie to kwadrat o boku 15cm.

b) Do tego podpunktu powstanie rysunek. Znajduje się on w załączniku.
Analizując rysunek możemy zapisać równanie na podstawie twierdzenia Talesa:
[tex]\frac{y}{16-2x}=\frac{10cm}{16cm}\\[/tex]
Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
[tex]160cm-20x=16y\\160cm-16y=20x || :16\\10cm-y=1,25x\ \ |+y\\10=1,25x+y \ |-1,25x\\y=10cm-1,25x[/tex]

Stąd na rysunku bok 10cm-y wynosi 10cm-(10cm-1,25x)=1,25x

Policzmy zatem długość odcinka |AB| z twierdzenia  Pitagorasa
[tex]|AB|^2+x^2=(1,25x)^2\\|AB|^2=(1,25x)^2-x^2\\|AB|^2=0,5625x^2\\|AB|=0,75x[/tex]

Mamy zatem wyliczone oba boki w zależności od parametru x. Powtarzamy zatem krok z punktu a).

[tex]P=(16cm-2x)*(0,75x)=12x \ cm-1,5x^2[/tex]
Wyliczamy x - wierzchołek paraboli
[tex]x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-12cm}{-2}=6cm[/tex]
Jeden bok 16cm-2x=16cm-2*6cm=4cm
0,75x = 6cm*0,75=4,5cm

Stąd wyliczamy Pole prostokąta:
[tex]P=4cm*4,5cm=18cm^2[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

W przypadku paraboli ze współczynnikiem a<0,największa jej wartość jest dla x wierzchołka. Zadanie to można to również rozwiązać przy pomocy pochodnych, wyniki będzie identyczny.

#SJP1