Question

A)Jaka długość ma krawędź sześcianu o objętości 27?
b)Jaka długość ma przekątna sześcianu o krawędzi długości 5?
c)Oblicz objętość sześciany o przekątnej długości 6 pierwiastkow z 6?

Answer 1

Jaka długość ma krawędź sześcianu o objętości 27?
V=27
V=a³
a³=27 zatem
a=3-krawędż sześcianu
b)Jaka długość ma przekątna sześcianu o krawędzi długości 5?
d=5
d=a√3
a√3=5/:√3
a=5/√3=5√3/3
c)Oblicz objętość sześciany o przekątnej długości 6 pierwiastkow z 6?
d=6√6
a√3=6√6/:√3
a=6√6/√3=6√18/3=2√18=6√2- krawędż sześcianu
V=a³
V=(6√2)³=216³√2 - objętośc

Answer 2

A)
V = a³
27 = a³
3³ = a³
stąd a = 3
Odp. Krawędź sześcianu o objętości 27 jest równa 3.

b)
a = 5
obliczmy najpierw długość przekątnej podstawy sześcianu d₁
d₁ = a√2
stąd d₁ = 5√2
przekątną sześcianu d₂ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a = 5 (wysokość sześcianu) i d₁ = 5√2 (przekątna podstawy)
d₂² = 5² + (5√2)²
d₂² = 25 + 50
d₂² = 75
d₂ = √75
d₂ = 5√3
Odp. Przekątna sześcianu o krawędzi 5 wynosi 5√3

c)
d = 6√6 - przekątna sześcianu
Z podpunktu b) można już wywnioskować wzór zależności między długością krawędzi sześcianu a długością jego przekątnej. Ale dla lepszego zrozumienia wyprowadźmy ten wzór:
a - długość krawędzi sześcianu
d₁ = a√2 - długość przekątnej podstawy sześcianu
d₂² = a² + (a√2)²
d₂² = a² + 2a²
d₂² = 3a²
d₂ = a√3
stąd a = d₂/√3
a usuwając niewymierność otrzymujemy
a = ⅓ d₂√3
Obliczmy a:
a = ⅓ • 6√6 • √3
a = 2 • √18
a = 2 • 3 • √2
a = 6√2
Objętość:
V = (6√2)³
V = 216 • 2√2
V = 432√2
Odp. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej długości 6√6 wynosi 432√2.