Question

1. Trzy liczby a,b,1 tworza ciag arytmetyczny. Liczby 1,a,b tworza ciag geometryczny. Znajdz te liczby.

2. Liczby a,b,c tworza ciag arytmetyczny, natomiast liczbt 1/a, 1/b, 1/(a+b+c) tworza ciag geometryczny. Wyznacz iloraz ciagu geometrycznego.

3. Z czterech liczb trzy poczatkowe tworza ciag geometryczny a trzy koncowe ciag arytmetyczny. Znajdz te liczby, jesli suma liczb pierwszej i ostatniej rowna sie 14, suma drugiej i trzeciej 12.

Prosze o rozwiazanie, nie sam wynik, z gory dzieki.

Answer 1

2
q=a/b
a/b=b/a+b+c czyli b2=a2+2ab+ac ale zachodzi
b-a=c-b czyli 2b-a=c więc b2=a2+ab+a(2b-a) więc
b2=a2+ab+2ab-a2 dalej mamy b2=3ab więc b=3a czyli q=a/3a=1/3

Answer 2

Ad.1
a,b,1-ciąg arytmetyczny,więc korzystając z jego własności otrzymujemy:
b-a=1-b
2b-1=a

1,a,b-ciąg geometryczny,więc prawdziwa będzie równość:
a:1=b:a
a²=b

Rozwiążmy układ równań:
2b-1=a i a²=b

2a²-1=a
2a²-a-1=0
Δ=(-1)²-4×2×(-1)=1+8=9
√Δ=3
a₁=(1-3):4=-1/2 lub a₂=(1+3):4=1
b₁=(-1/2)²=1/4 lub b₂=1²=1

Odp:a₁=-1/2 i b₁=1/4 lub a₂=1 i b₂=1

Ad.2
a,b,c-ciąg arytmetyczny,więc:
b-a=c-b
2b=a+c

1/a, 1/b, 1/(a+b+c)-ciąg geometryczny,więc:
1/b:1/a=1/(a+b+c):1/b
a:b=b:(a+b+c), gdzie q=a:b
teraz podstawiamy warunek 2b=a+c i otrzymujemy:
a:b=b:(2b+b)
a:b=b:3b
a:b=1/3
Odp:q=1/3

Ad.3
a,b,c,d-ciąg liczbowy
a,b,c-ciąg geometryczny
b,c,d-ciąg arytmetyczny
b:a=c:b (I)
c-b=d-c (II)
a+d=14 (III)
b+c=12 (IV)

Najpierw dodajmy stronami równania III i IV:
a+b+d+c=26 (*)

Z (II) mamy 2c=b+d, podstawiamy do (*):
a+2c+c=26
a+3c=26
a=26-3c (**)

Z (IV) wyznaczamy b:
b=12-c (***)

Przekształcamy (I) i podstawiamy (**) oraz (***):
b²=ac
(12-c)²=(26-3c)c
144-24c+c²=26c-3c²
4c²-50c+144=0/:2
2c²-25c+72=0
Δ=49
√Δ=7
c₁=9/2 lub c₂=8, podstawiamy do (***):

b₁=12-9/2=15/2 lub b₂=12-8=4

Przekształcamy (II) i podstawiamy c i b:
d=2c-b
d₁=2c₁-b₁=3/2 lub d₂=2c₂-b₂=12

Korzystamy z (**):
a₁=26-3c₁=25/2 lub a₂=26-3c₂=2

Odp:2,4,6,8 lub 25/2,15/2,9/2,3/2