Question

A) Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x≠-2 takie, że |x+1|-|x+2|>0
b) Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste takie, że |x|+|x+1|+|x+2|=3

Answer 1

A)
Rozpatrujesz przedziały, ile ich jest zależy od rozwiązań tego równania, więc najpierw przyrównujesz każde do zera a więc x+1=0 zatem x=-1 oraz x+2=0 zatem x=-2. Zatem rozpatrujemy trzy przedziały:
I. (-∞,-2), II.(-2,-1>, III.(-1,+∞) [Domykamy tylko z prawej strony, liczby (-2) nie domykasz bo w poleceniu masz że muszą być różne od (-2)]
Teraz sprawdzasz znak każdego z tych wyrażeń w danym przedziale i tak masz
I. w pierwszym przedziale wyrażenie x+1<0 (wstaw sobie jakąś liczbę z tego przedziału np. (-5) i masz (-5)+1=-4<0), drugie również x+2<0 (wstawiam sobie (-5), wtedy (-5)+2=(-3))
Wtedy pierwsze przepisuję ze znakiem minus (bo było mniejsze od zera) i to drugie też bo to samo więc mam
-(x+1)-(-(x+2))>0
-x-1+x+2>0
1>0
Prawda, zatem rozwiązaniem tu jest część wspólna pierwszego przedziału i całego R zatem będzie to (-∞,-2)
II. w drugim przedziale mam
x+1<0 (bo np (-1,5)+1=(-0,5)<0)
x+2>0 (bo np (-1,5)+2=0,5>0)
zatem pierwsze przepisuję ze znakiem minus a drugie z plusem
-(x+1)-(x+2)>0
-x-1-x-2>0
-2x>3
x<-2/3 więc x∈(-∞,-2/3)
Częścią wspólną (iloczynem) rozwiązania i drugiego przedziału jest (-2,-1>
III. To samo, najpierw patrzymy na znak
x+1>0 (bo np 4+1=5>0)
x+2>0 (bo np 4+2=6>0)
Zatem oba przepisuję ze znakiem plus
x+1-x-2>0
-1>0
Nieprawda, zatem nie ma rozwiązania w tym przedziale

Podsumowujemy - rozwiązaniem jest x∈(-∞,-2) u (-2,-1>

b) Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste takie, że |x|+|x+1|+|x+2|=3
Rozpatrujemy tu trzy liczby jeśli chodzi o podział na przedziały. Liczby dla których
x=0
x+1=0 zatem x=-1
x+2=0 zatem x=-2
Mamy zatem I. (-∞,-2> II. (-2,-1> III. (-1,0> IV. (0,+∞)
I. W pierwszym przedziale:
x<0 (bo np jeśli za x=-4<0)
x+1<0 (bo np -4+1=-3<0)
x+2<0 (bo np -4+2=-2<0)
zatem -x-(x+1)-(x+2)=3
-x-x-1-x-2=3
-3x=3+3
-3x=6 /:(-3)
x=2 (rozwiązanie to nie należy do przedziału (-∞,-2>, więc odpada)
II. W drugim przedziale:
x<0 (bo np x=-1,5<0)
x+1<0 (bo np (-1,5)+1=(-0,5)<0)
x+2>0 (bo np (-1,5)+2=0,5>0)
zatem -x-(x+1)+x+2=3
-x-x-1+x+2=3
-x=2 /:(-1)
x=-2 (rozwiązanie to nie należy do przedziału (-2,-1> więc również odpada)
III.
x<0 (bo x=(-0,5)<0)
x+1>0 (bo np. (-0,5)+1=0,5>0)
x+2>0 (bo np. (-0,5)+2=1,5>0)
zatem -x+x+1+x+2=3
x=3-3=0 (rozwiązanie to należy do przedziału (-1,0> więc jest jednym z rozwiązań)
IV.
x>0 (bo np. x=2>0)
x+1>0 (bo np. 1+2=3>0)
x+2>0 (bo np. 2+2=4>0)
zatem x+x+1+x+2=3
3x=3-3
3x=0 /:3
x=0 (Rozwiązanie to nie należy do przedziału (0, +∞) więc odpada)

Podsumowujemy, że rozwiązaniem jest liczba x=0