Question

A wiec mam tutaj zadania z wielomianów. (treść zadań podana w załącznikach)
chodzi mi o zadanie 6 przykład "c" oraz 7 (wszystkie przykłady).
40pkt do zdobycia :)


Proszę aby pisali tylko Ci co umieją, a nie jacyś nabijacze punktów. Jak ktoś napisze coś co nie bedzie miało sensu zgłaszam do admina;)

Answer 1

6c
(3x² - 5x +2)/(3x³ - 2x² - 12x + 8) = (3x² - 5x +2)/[3x(x² - 4) - 2(x² - 4)] = (3x² - 5x +2)/[3x(x² - 4) - 2(x² - 4)] = [(x - 1)(x - 2/3)]/[(x² - 4)(3x - 2)] = [(x - 1)(x - 2/3)]/[3(x² - 4)(x - 2/3)] = (x - 1)/[3(x² - 4)] = (x - 1)/[3(x - 2)(x + 2)]

7a
n³ - n = n(n² - 1) = (n - 1)n(n + 1) - to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich musi być wielokrotnością 3, więc całość jest podzielna przez 3

7b
n⁴ - 2n³ + n² = n²(n² - 2n + 1) = n²(n - 1)² = [n(n - 1)]²
to iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich musi być wielokrotnością 2, więc całość jest podzielna przez 2, a kwadrat przez 2² = 4

7c
n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n² + 1)
to iloczyn między innymi 3 kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich musi być wielokrotnością 3, więc całość jest podzielna przez 3, zarazem jest iloczynem 2 kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich musi być wielokrotnością 2, więc całość jest podzielna przez 2, a więc ponieważ 2 i 3 to luiczby pierwsze 2*3 = 6, cała liczba musi być podzielna przez 6

Answer 2

Zad.7.
a) n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)
mamy tu iloczyn trzech kolejnych liczb a więc skoro tak to musi wśród nich być liczba będąca wielokrotnością liczby 3 (odliczane są co 3), zatem musi się dzielić przez 3.

b) n⁴-2n³+n²=n²(n²-2n+1)=n²(n-1)²
Wszystkie liczby można zapisać w postaci 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, gdzie k jest liczbą całkowitą, wstawmy to do wielomianu i sprawdźmy czy da się wyłączyć jakąś 4 przed nawias jeśli tak to oznacza że przez 4 się dzieli
dla 4k: (4k)²(4k-1)²=16k²(4k-1)²=4[4k²(4k-1)²] - dzieli się
dla 4k+1: (4k+1)²(4k+1-1)²=(4k+1)(4k)²=(4k+1)²16k²=4[4k²(4k+1)²] - dzieli się
dla 4k+2: (4k+2)²(4k+2-1)²=(16k²+16k+4)(4k+1)²=4[(4k²+4k+1)(4k+1)²] - dzieli się
dla 4k+3: (4k+3)²(4k+3-1)²=(4k+3)²(4k+2)²=(4k+3)²(16k²+16k+4)=4[(4k+3)²(4k²+4k+1)] - dzieli się

c) n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+1)
Widzimy że podobnie jak w pierwszym w iloczynie mamy trzy kolejne liczby zatem muszą tam być wielokrotność liczby 2 oraz wielokrotność liczby 3 zatem liczba ta dzieli się na 6

Zad.6.
a) [x³-3x²+x-3]:[x-3]=(x²[x-3]+1[x-3]):[x-3]=([x-3][x²+1]):[x-3]=x²+1
b) [30x⁴-6x³+45x²-9x]:[8x²+12x]=(6x³[5x-1]+9x[5x-1]):(4x[2x+3])=([6x³+9x][5x-1]):(4x[2x+3])=(3x[2x+3][5x-1]):(4x[2x+3])=(3[5x-1]):4=(3/4)*(5x-1)=(15/4)x-3/4
c) [3x²-5x+2]:[3x³-2x²-12x+8]= [3x²-5x+2]:(x²[3x-2]-4[3x-2])=[3x²-5x+2]:([x²-4][3x-2])=[3x²-5x+2]:([x-2][x+2][3x-2])=([x-1][x-2/3]):([x-2][x+2][3x-2])=([x-1]):([x-2][x+2]3[x-2/3])=(x-1):(3[x-2][x+2])

3x²-5x+2, Δ=(-5)²-4*3*2=25-24=1, √Δ=±1, x₁=4/6=2/3; x₂=1