Question

A) Co jest większe: trzecia część 3^57, czy trzecia część z 9^29 UZASADNIJ ODPOWIEDŹ!
b) Jaka jest cyfra jedności liczby 55^33 - 77^17 UZASADNIJ!
c) Uczeń stwierdza: równanie 3^x+2 = 5^x+2 nie ma rozwiązań, bo potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach nie mogą być równe. Czy ma rację? UZASADNIJ!

proszę, aby tu nie były odpowiedzi tj. można obliczyć 3x3x3x3x3itd, tylko to "sprytnie obliczyć" :)

Answer 1

Witam!

a) trzecia część liczby x to po prostu x/3, więc musimy porównać:

x=(3^57)/3=3^56
y=(9^29)/3=([3^2]^29)/3=(3^58)/3=3^57

y>x, wniosek: druga liczba jest większa.

b) Zauważam, że 55 do dowolnej potęgi całkowitej dodatniej jest taką liczbą, że jej cyfra jedności jest równa 5 (sama sprawdź licząc 55^2, 55^3, 55^4, itd.).
Teraz liczę kolejne potęgi liczby 77 zauważam, że cyfry jedności jej potęg powstarzają się co pewien okres:

77^1 - cyfra jedności: 7
77^2 - cyfra jedności: 9
77^3 - cyfra jedności: 3
77^4 - cyfra jedności: 1
77^5 - cyfra jedności: 7
77^6 - cyfra jedności: 9
itd.

Cykl zaczyna się "od nowa" co cztery liczby, więc zanim będziemy liczyć 77^17 to możemy zauważyć, że cykl powtórzy się już 4 razy (bo 17:4=4.25, część całkowita 4). Zauważam, że 4*4=16 czyli przy obliczaniu 77^17 pojawi się cyfra 7 (pierwsza cyfra "z kolei"), ponieważ cyfra jedności liczby 77^16 "kończyła" czwarty cykl z kolei.

Z tego wynika, że:

55^33-77^17=xxxxxxx5-yyyyy7 (x,y - to jakieś cyfry, ich znajomość nie jest nam potrzebna), czyli cyfra jedności różnicy tych dwóch liczb jest równa 2 (bo |5-7|=|-2|=2)

c) Uczeń nie ma racji co można stwierdzić już z samych wykresów tych funkcji:
http://img2.vpx.pl/up/20091021/wykladnicza2.jpg

Do rozwiązania tego zadania nie potrzeba wykresów. Wystarczy wiedza, że dowolna liczba a podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden.

W razie dalszych pytań zapraszam na PW;]

Pozdrawiam!