Question

a) ciag (an) okreslony jest wzorem an=2n-6 oblicz piec poczatkowych wyrazow tego ciagu

b) zbadaj monotonicznosc ciagu an=5nkwadrat

c)oblicz x wiedzac ze liczby 3,x,13 tworza w podanej kolejnosci ciag arytmetyczny

d)oblicz 1+3+5+...=199

e)rozwiaz rownanie 1+3+5+...+x=81

Answer 1

a)

an = 2n - 6

a1 = 2*1 - 6 = 2 - 6  = - 4

a2 = 2*2 - 6 = 4 - 6 = - 2

a3 = 2*3 - 6 = 6 - 6 =   0

a4 = 2*4 - 6 = 8 - 6 =   2

a5 = 2*5 - 6 = 10 - 6 = 4

a6 = 2*6 - 6 = 12 - 6 = 6

========================

b)

an = 5 n^2

zatem kolejny wyraz  an+1 = 5 (n +1)^2 = 5*[n^2 +2n + 1] = 5 n^2 + 10n + 5

Obliczamy

an+1 - an = [5 n^2 + 10n + 5 ] - 5 n^2 = 10n + 5 > 0  dla dowolnej liczby

naturalnej n , zatem ciag jest rosnący.

=====================================

c)

3, x , 13   - ciag arytmetyczny

zatem

x - 3 = 13 - x

2x = 16

x = 8

=====

d)

1 + 3 + 5 + ... = 199

a1 = 1

r = 3 - 1 = 5 - 3 = 2

zatem

Sn = 0,5 *[2 a1 + (n -1) *r] *n

czyli po podstawieniu za a1  oraz  r  otrzymamy

0,5 *[ 2*1 + (n -1) *2] *n = 199  / * 2

[2 + 2n - 2]*n = 398

2n*n = 2 n^2 = 398

n^2 = 199  < --- coś jest nie w porządku bo p(199) = > 14,1

Powinno byc Sn = 196   wtedy  n równałoby się 14.

a14 = a1 + 13 r = 1 + 13*2 = 1 + 26 = 27

wtedy

1 + 3 + 5 + ... + 25 + 27 = 196

================================

e)

1 + 3 + 5 + ... + x = 81

a1 = 1

r = 2

0,5*[2*1 +(n -1)*2]*n = 81  / * 2

[ 2 + 2n - 2 ] *n = 162

2 n^2 = 161

n^2 = 81

n = 9

------

x = a9 = a1 + 8*r = 1 + 8*2 = 1 + 16 = 17

Odp. x = 17

============================================================