Question

Dane są dwa wielomiany x^2+ax+b i x^2+cx+d, które mają wspólny dzielnik (x-k). Wykaż, że k= d-b/a-c

Answer 1

Niech W(x)=x²+ax+b  oraz Q(x)=x²+cx+d.

Jeśli wielomiany dzielą się przez dwumian (x-k) , to W(k)=0 i Q(k)=0 czyli :

k²+ak+b=0  ∧  k²+ck+d=0  ⇔  k²+ak+b=k²+ck+d ⇔ ak+b=ck+d  ⇔  ak-ck=d-b ⇔  k(a-c)=d-b |:(a-c) ⇔  k=(d-b)/(a-c) , dla a≠c

cnd.