Question

1. Nie wykonując dzielenia ustal, jaką najmniejszą liczbę naturalną należy odjąć od liczby :

a) 101 058

b) 111 111

c)989

d)97 007

aby otrzymać liczbę podzielną przez 12. (Napisz jak do tego doszłeś/aś )

2. W pewnym miesiącu piątek wystąpił trzykrotnie w dniach miesiąca, które są liczbami pierwszymi. W jakim dniu tygodnia rozpoczął się ten miesiąc. Obliczenia !

3.Jakie cyfry należy wstawić w miejsce x i y , by liczba o cyfrach 915x6y była podzielna przez 30 i by była zbudowana z sześciu różnych cyrf ? Uzasadnij wybór .

4. Uzasadnij , że liczba postaci 2 do potęgi 21 plus 3 do potęgi 21 jest podzielna przez 5.

Proszę pomóżcie !

Daję ''naj '' !

Answer 1

Zad 1

a) Odejmujemy 6 ,a dlatego, że :

Na początku sprawdzamy czy liczba 101058 jest podzielna przez 3 (dodajemy wszsytkie cyfry do siebie, jeżeli suma jest podzielna przez 3 to liczba jest podzielna przez 3), 1+0+1+0+5+8=15 czyli liczba jest podzielna przez 3, widzimy także jest podzielne przez 2 bo jest parzysta zatem liczba dzieli się przez 6, teraz musimy sprawdzić czy liczba dzieli się znowu przez 2 bo wtedy mamy ze licba dzieli się przez 2 i 2 i 3 czyli raze 12

Patrząc na 2 ostatnie cyfry po podzieleniu przez 2 bedziemy mieli 29 czyli liczbe nieparzysta niepodzielna przez 2, odejmujemy 3 od liczby 101058 zeby nadal miecl iczbe podzielna przez 3, mamy 101055 liczba podzielna przez 3 ale niepodzielna przez 2, zatem odejmujemy kolejne 3 mamy 101052 , liczba podzielna przez 3, liczba podzielna przez 2, 2 ostatnie cyfry po podzieleniu przez 2 dadza nam 26 czyli liczbe podzielna przez 2, zatem trzeba odjąć 6

 

b) liczba 111111 , suma cyfr = 6 podzielna przez 3 ale liczba jest nieparzysta wiec nie dzieli się przez 2

odejmujemy 3 

Mamy 101108 liczba podzielna przez 3, liczba podzielane przez 2, patrzymy na 3 ostatnie cyfry dadzą nam 54 po podzieleniu przez 2 więc otrzymujemy liczbe parzystą podzielną przez 2 zatem należy odjąć 3

 

c) 989 - suma cyfra = 26 , zatem na samym poczatku trzeba odjac 2 zeby otrzymac liczbe podzielna przez 3

987 - suma cyfr = 24 liczba podzielna przez 3, ale nie dzieli się przez 2

Odejmujemy 3

984 - suma cufr = 21, liczba podzielna przez 3, podzielna przez 2

sprawdzamy ostatnia cyfre, po dzieleniue przez 2 będzie 2 czyli liczba patrzysta zatem dzieli sie przez 2 

Czyli należy odjąć 5

 

d) 97007 - suma cyfr = 23 - nie dzieli sie przez 3

odejmujemy 2 w celu otrzymania cyfry podzielnej przez 3

97005

Odejmujemy 3

97002- dzieli sie przez 3 ale nie dzieli przez 4 (rozumowanie jak w poprzednich przykladach)

Odejmujemy 3

96999 - dzieli sie przez 3 ale nie dzieli przez 4 (rozumowanie jak w poprzednich przykladach)

Odejmujemy 3

96996 - dzieli sie przez 3 i dzieli sie przez 4 zatem nalezy lacznie odjac 11

 

Zad 2

Wypisujemy najpierw liczby pierwsze od 2 do 31

czyli 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31

 

Następnie patrzymy od ktorej z liczby co otrzymamy czyli

2, 9, 16, 23 , 30 mamy tylko 2 liczby pierwsze

3, 10, 17,24 , 31 mamy 3 liczby pierwsze jako piatki więc zgadza się z warunkami zadania

(przegladajac dalsze kombinacje nie otrzymamy szukanego rozwiazania)

 

Zatem 3, 10 , 17 ,24 , 31 to nasze szukane rozwiązanie

Czyli

Dzień 1 miesiąca to środa

 

Zadanie 3.

Mamy liczbe 915x6y

Ma być podzielna przez 30 zatem dzieli się przez 5, przez 2 i przez 3

zeby dzielila sie przez 5 musi miec na koncy albo 5 albo 0 , 0 jest juz wykorzsytane oraz gdyby była piatka to nie dzieliłaby się liczba przez 5 zatem y = 0

Teraz obliczamy sume cyfr = 9+1+5+x+6+0 = 21 +x suma ta musi byc podzielna przez 3 zatem x moze byc rowne 0, 3, 6, 9 ale nie mozemy powtarzac liczb zatem zostaje tylko 3 , czyli nasze x = 3 y = 0 a cała liczba wynosi 915360

 

Zadanie 4.

a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1}b^0 - a^{n-2}b^1 + a^{n-3}b^2 - ... - a^1b^{n-2} + a^0b^{n-1}) korzystamy z tego wzoru ogolnego na sume liczb o tym samym wykładniku, z którego od razu widać że pierwszy człon a+b będzie równy 2 +3 czyli 5*(....)