Question

Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb a, b takich, że a×b < 0 zachodzi nierówność:

a/b + b/a ≤ -2

Pokaż, kiedy zachodzi równość.

Answer 1

A/b + b/a ≤ -2

Przerzucamy -2 na drugą stronę i prowadzamy do wspólnego mianownika:

a/b + b/a + 2 ≤ 0
a²/ab + b²/ab + 2ab/ab ≤0
(a²+2ab+b²)/ab ≤ 0
(a+b)²/ab ≤ 0

Licznik jest dodatni, mianownik jest ujemny z założenia (ab<0), zatem cały ułamek jest niedodatni (≤ 0).

Równość zachodzi, kiedy licznik jest równy 0, czyli dla (a+b)² = 0 <=> a = -b; jest to zgodne z założeniami, ponieważ ab<0 wtedy, gdy a i b są przeciwnych znaków.

Answer 2

Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb a, b takich, że a×b < 0 zachodzi nierówność:
a/b + b/a ≤ -2
Pokaż, kiedy zachodzi równość.

a/b + b/a ≤ -2
a/b + b/a + 2 ≤ 0
a²/ab + b²/ab + 2ab/ab ≤0
(a²+2ab+b²)/ab ≤ 0
(a+b)²/ab ≤ 0

(a+b)²>0
a×b < 0
Czyli (a+b)²/ab ≤ 0


(a+b)²=0 /√
a+b=0
a=-b