Question

A) 1 2 3
∞∞∞∞ + ∞∞∞∞ > ∞∞∞∞
x+1 x+3 x+2

b) 2 1
∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ > 3
x-1 x+1

c) 1+x 1-2x
∞∞∞∞ < ∞∞∞∞∞ -1
1+2x x+1

d) 3 1
∞∞∞∞ ≥ ∞∞ -1
x+5 x

Answer 1

/ - kreska ułamkowa

a) 1/(x+1) +2/(x+3) > 3/(x+2)
wspólny mianownik ułamków to:(x+1) (x+3) (x+2)

(1(x+3)(x+2) + 2(x+1)(x+2))/(x+1)(x+3)(x+2)>
3((x+1)(x+3))/(x+1)(x+3)(x+2)

wymnażając poszczególne elementy mamy:

(x²+5x +6+2x²+6x+4)/(x+1)(x+3)(x+2) >(3x²+12x+9)/(x+1)(x+3)(x+2)

(3x²+11x + 10)/(x+1)(x+3)(x+2) -(3x²+12x+9)/(x+1)(x+3)(x+2) > 0
(3x²+11x + 10 -(3x²+12x+9)) /(x+1)(x+3)(x+2) > 0
(3x²+11x + 10 -3x²-12x-9) / (x+1)(x+3)(x+2) > 0
(-x +1) / (x+1)(x+3)(x+2) > 0
Iloraz (dzielenie) dwóch liczb jest >0, gdy obie mają takie same znaki
czyli
-x+1>0 i (x+1)(x+3)(x+2)>0 lub -x+1<0 i (x+1)(x+3)(x+2) <0
x<1 i x∈(1,2)∨(3,+∞) lub x>1 i x∈(- ∞,1)∨(2,3)
x∈Ф lub x∈(2,3)

Odp. x∈(2,3)

2/(x-1) - 1/(x+1) > 3
wspólny mianownik, to (x-1)(x+1)=x² - 1² = x²-1
(2(x+1) - (x-1) -3(x+1)(x-1)) / (x+1)(x-1) >0
(2x+2-x+1-3(x² -1)) / (x+1)(x-1) >0
(3x +3 -3x² +3) / (x+1)(x-1) >0
(3x² +3x +6) / (x+1)(x-1) >0
3(x² + x + 2) / (x+1)(x-1) >0

x² + x + 2=0
a=1, b=1,c=2
Δ=b²-4ac
Δ=1²- 4*1*2=1-8=-7
równanie nie ma pierwiastków, przyjmuje zawsze wartości dodatnie (>0), czyli musimy rozpatrzyć tylko mianownik.
(x+1)(x-1)>0,gdy
x+1>0 i (x-1)>0 lub x+1<0 i (x-1)<0
x>-1 i x>1 lub x<-1 i x<1
x∈(1, ∞) lub x∈(- ∞,-1)

odp.x∈Ф

(1+x)/(1+2x) <(1-2x)/(x+1) -1

wspólny mianownik (1+2x)(x+1)

((1+x)(1+x)-(1-2x)(1-2x) -(1+2x)(1+x)) /(1+2x)(x+1)<0
Po wymnożeniu i redukcji wyrazów podobnych mamy:
(5x²-3x-1)/(1+2x)(x+1)<0
analogicznie jak w poprzednich przykładach musimy rozpatrzyć kiedy licznik i mianownik maja różne znaki.



3/(x+5)≥1/x - 1
wspólny mianownik: (x+5)x
(3x - (x+5) +(x+5)x)/(x+5)x≥0
(3x - x - 5 + x² +5x)/ (x+5)x≥0
(x² -7x -5) /(x+5)x ≥ 0
itd.