Question

1. Uzasadnij, ze suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą.

2. Uzasadnij, ze suma pięciu kolejnych liczb podzielnych przez 3 nie może być równa 1010.

3. Liczby 800 i 284 podzielono przez tę samą liczbę naturalną n i otrzymano odpowiednio reszty 8 i 9. oblicz n.

4. Uzasadnij, że suma 2 liczb dwucyfrowych różniących się kolejnością cyfr jest liczbą podzielną przez 11.

5. Uzasadnij, ze różnica kwaratów dwóch liczb dwucyfrowych różniących się kolejnością cyfr jest podzielna przez 9 i 11.

6. a)Znajdź dwie liczby, których suma jest równa 1530, wiedząc, że pierwsza liczba stanowi 13/17 drugiej liczby.

b) znajdx trzy liczby, których suma jest równa 134, wiedząc , ze pierwsza liczba stanowi 15/16 drugiej , a druga 4/9 trzeciej.

Answer 1

1. Uzasadnij, ze suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą.

Cztery kolejne liczby naturalne: n, n+1, n+2, n+3

Ich suma: s=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6

Liczba s jest zawsze liczbą parzystą, a więc nie jest liczbą pierwszą.

2. Uzasadnij, ze suma pięciu kolejnych liczb podzielnych przez 3 nie może być równa 1010.

Pięć kolejnych liczb podzielnych przez 3: 3n, 3n+3, 3n+6, 3n+9, 3n+12

Ich suma: 3n+(3n+3)+(3n+6)+(3n+9)+(3n+12)=15n+30

15n+30=1010

15n=1010-30

15n=980    /:15

n=67, 33 - nie możliwe, ponieważ n może być tylko liczbą całkowitą.

 

3. Liczby 800 i 284 podzielono przez tę samą liczbę naturalną n i otrzymano odpowiednio reszty 8 i 9. oblicz n. 

800-8=792

284-9=275

Najmniejszy wspólny dzielnik liczb 792 - 275 to 11 zatem n=11.

 

4. Uzasadnij, że suma 2 liczb dwucyfrowych różniących się kolejnością cyfr jest liczbą podzielną przez 11. 

10x+y - pierwsza liczba dwucyfrowa

10y+x - druga liczba dwucyfrowa

(10x+y)+(10y+x)=11x+11y=11(x+y) - zawsze  jest podzielne przez 11

 

5. Uzasadnij, ze różnica kwaratów dwóch liczb dwucyfrowych różniących się kolejnością cyfr jest podzielna przez 9 i 11. 

 

- zawsze jest podzielne przez 11

6. a)Znajdź dwie liczby, których suma jest równa 1530, wiedząc, że pierwsza liczba stanowi 13/17 drugiej liczby.

x - pierwsza liczba, y - druga liczba

 

b) znajdx trzy liczby, których suma jest równa 134, wiedząc , ze pierwsza liczba stanowi 15/16 drugiej , a druga 4/9 trzeciej.  

x - pierwsza liczba, y - druga liczba, z - trzecia kiczba