1. Kąty trójkąta mają miary 60o, 45o i 75o, a najkrótszy bok ma długość 3. Oblicz obwód tego trójkąt.... Question from @Maciej4321

Maciej4321 @Maciej4321

October 2018 1 23 Report

1. Kąty trójkąta mają miary 60o, 45o i 75o, a najkrótszy bok ma długość 3. Oblicz obwód tego trójkąta.

2. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm wpisano w okrąg. Oblicz pole tego okręgu.

3. Oblicz miarę kąta wpisanego opatego na 1/9 okręgu.

4. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wynosi 6. Oblicz pole tego trójkąta.

5. Dany jest punkt A = (2, -5). Napisz współrzędne punktu symetrycznego do A pod względem:
a) osi x

b) punktu (0,0)

c) prostej y = 2
d) osi y

e) prostej x = -3

f) punktu (3,1)

6. Trzy jednakowe puszki o średnicy 4 cm ułożono tak, że środki wieczek tworzą trójkąt równoboczny i oklejono je taśmą. Oblicz długość taśmy.

Fshrek

Zad. 1

To co można zastosować to twierdzenie sinusów, zgodnie z nim $\frac{3}{sin45^{o}} = \frac{b}{sin60^{o}} = \frac{c}{sin75^{o}}$

Podstawiamy wartości kątów dla pierwszej proporcji:

$\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ - rozwiązujemy proporcję

$\frac{\sqrt{2}}{2}b = 3\frac{\sqrt{3}}{2}$ - dzielimy obustronnie przez pierwiastek z dwóch przez dwa (mnożymy przez odwrotność)

$b = 3\frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ - znosimy niewymiernoóść z mianownika

$b = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$

Obliczamy c z proporcji $\frac{3}{sin45^{o}} = \frac{c}{sin75^{o}}$ - podstawiamy wartości kątów

$\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{0,9659}$ - rozwiązujemy proporcję

$\frac{\sqrt{2}}{2}c = 2,8977$ - dzielimy obustronnie przez pierwiastek z dwóch przez dwa (mnożymy przez odwrotność)

$c = 2,8977 * \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{5,7954}{\sqrt{2}}$ - znosimy niewymiernoóść z mianownika

$c = \frac{5,7954}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5,7954\sqrt{2}}{2} = 2,8977\sqrt{2}$

Obwód trójkąta wynosi:

$Obw = a + b + c = 3 + \frac{3\sqrt{6}}{2}+ 2,8977\sqrt{2}\approx 10,7722$

Zad. 2

Promień okręgu opisanego na trójkącie (trójkąt wpisany w okrąg) jest równy połowie długości przeciwprostokątnej. Znajdujemy więc przeciwprostokątną korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ - podstawiamy

$c^{2} = 4^{2} + 6^{2}$ - rozwiązujemy

$c^{2} = 16 + 36 = 52$ - pierwiastkujemy

$c = \sqrt{52} = \sqrt{4 * 13} = 2\sqrt{13}$

Promień jest połową przeciwprostokątnej więc ma miarę: $r = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$

Pole okręgu jest równe $P = \pi r^{2} = \pi * (\sqrt{13})^{2} = 13\pi \approx 40,8407$

Zad. 3

Kąt wpisany ma miarę równą połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt środkowy oparty na 1/9 okręgu ma miarę $\alpha = \frac{1}{9} * 360^{o} = 40^{o}$

Zatem kąt wpisany oparty na tym łuku ma miarę $\beta = \frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{2} * 40^{o} = 20^{o}$

Zad. 4

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy $\frac{2}{3}$ wysokości tego trójkąta. Wysokość trójkąta można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} = a^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}$

$h^{2} = a^{2} - \frac{1}{4}a^{2}$

$h^{2} = \frac{3}{4}a^{2}$ - pierwiastkujemy

$h = \sqrt{\frac{3}{4}a^{2}}$ - upraszczamy

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

Wyznaczamy 2/3 wysokości

$\frac{2}{3}h = \frac{2}{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{2\sqrt{3}}{6}a$

Podstawiamy dane z zadania i obliczamy a:

$\frac{2}{3}h = \frac{2\sqrt{3}}{6}a = 6$ - rozwiązujemy

$\frac{2\sqrt{3}}{6}a = 6 \ /:\frac{2\sqrt{3}}{6}$

$a = 6 * \frac{6}{2\sqrt{3}} = 3 * \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$ - znosimy niewymierność z mianownika

$a = \frac{18}{\sqrt{3}} * \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$

Pole trójkąta liczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2}ah$ - podstawiamy h i przekształcamy wzór

$P = \frac{1}{2} * a * \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ - podstawiamy a i obliczamy

$P = \frac{\sqrt{3}}{4}*(6\sqrt{3})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}*36*3 = 27\sqrt{3}$

Zad. 5

a) (2, 5)

b) (-2, 5)

c) (2, 9)

d) (-2, -5)

e) (-8, -5)

f) (4, 7)

W załączniku zaznaczone na wykresie

Zad. 6

W załączniku rysunek

W idealnie matematycznym stanie taśma będzie okręgiem opisanym na trójkącie. Musimy więc znaleźć promień tego okręgu, wiemy że promień okręgu opisanego jest równy

$r = \frac{2}{3}h$

Trójkąt utworzony przez środki puszek ma bok o długości równej średnicy puszki, a=4.

Trójkąt który tworzą brzegi puszek jest również trójkątem równobocznym, jeżeli znajdziemy jego wysokość będziemy mogli obliczyć obwód koła - długość taśmy.

Wysokość większego trójkąta jest sumą promienia puszki, wysokości małego trójkąta i wartości którą musimy znaleźć - x

Wysokość małego trójkąta wyznaczymy korzystając ze wzoru $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}* 4 = 2\sqrt{3}$