Question

1.Oblicz sume szcześciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego ,korzystajac z podanego wzoru.Sprawdz otrzymany wynik ,doadajac wyrazy ciagu.

a)2,4,8,16..

b)1,-2,4,-8

c)1,1/2,1/4,1/8...

2.

a)Oblicz sumę S7 ciagu geometrycznego(an)w ktorym a1=3oraz q=-2

b)oblicz sume S5 ciagu geometrycznego (an) w ktorym a1=-4 oraz q=3

3.Oblicz sumy S8iS9 ciaguj geometrycznego (an) w ktory, a1=2 oraz q=-1

b)sformuluj wnioske dotyczacy sumy n poczatkowych wyrtazow ciagu geometrycznego o ilorazie q=-1

Answer 1

1) Tyle tylko, że są to ciągi  geometryczne, a nie arytmetyczne.                                   a)  a₁=2, q=2,  S₆= a₁ · (1-q⁶)/(1-q) = 2 · (1-2⁶)/(1-2) = 2·(1-64)/-1 = 2·63 = 126

     Spr.   2+4+8+16+32+64 = 126

b)  a₁=1, q= -2, S₆ = 1·(1- (-2)⁶)/(1+2) =(1-64)/3 = -63/3 = - 21

     Spr.  1 + (-2)+ 4 + (-8) + 16 + (-32) = 21 - 42 =-21

c)  a₁= 1, q= ½,  S₆= 1·(1-(½)⁶) / (1-½) = (1-1/64)/(½) = 63/64 ·2 = 63/32

    Spr.  1 + ½ + ¼ + ⅛ + 1/16 + 1/32 = 32/32 + 16/32+8/32+ 4/32 + 2/32 + 1/32 = 63/32

2)  a)  a₁=3,  q= -2,  

        S₇ = a₁ · (1-q⁷)/(1-q) = 3·[1-(-2)⁷]/([1-(-2)] = 3·(1+128)/(1+2) = 3· 129/3 = 129

    b)  a₁=-4, q=3

        S₅= a₁·(1-q⁵)/(1-q) = -4 · (1-3⁵)/(1-3) = -4 · (1-243)/(-2) = -4· (-242)/(-2) =

            = -4 · 121 = -484

3) a₁= 2,  q=-1

    S₈ = a₁ · (1-q⁸)/(1-q) = 2· [1-(-1)⁸]/[1-(-1)] = 2· (1-1)/(1+1) = 2· 0/2 = 0

    S₉ = 2· [1-(-1)⁹]/[1-(-1)] = 2· (1+1)/(1+1) = 2·1 =2

  Wniosek:

   Dla q= -1 sumy parzystej ilości wyrazów początkowych ciągu geometrycznego są równe 0, a sumy nieparzystej ilości

   wyrazów są równe pierwszemu wyrazowi ciągu (a₁).

   

Answer 2

1]a]

a₁=2

a₂=4

q=4/2=2 bo to ciag geometryczny

a₃=8

a₄=16

a₅=2×16=32

a₆=2×32=64

S₆=2+4+8+16+32+64=126

S₆=2(1-2⁶)/(1-2)=2(1-64)/-1=126

b]

a₁=1

a₂=-2

a₃=4

a₄=-8

a₅=16

a₆=-32

q=-2/1=-2

S₆=1[1-(-2)⁶] /[1-(-2)]=-63/3=-21

S₆=1-2+4-8+16-32=-21

c]

a₁=1

a₂=½

a₃=¼

a₄=⅛

a₅=¹/₁₆

a₆=1/32

q=½

S₆=1+½+¼+⅛+1/16+1/32=63/32

S₆=1(1-(½)⁶]/(1-½)=63/64:½=63/32

2]a]

S₇=3[1-(-2)⁷]/(1+2)=129

b]

S₅=-4[1-3⁵]/(1-3)=-484

3a]

S₈=2[1-(-1)⁸]/(1+1)=0

S₉=2[1-(-1)⁹]/(1+1)=2

b]

suma parzystej liczby wyrazów ciągu jest zawsze =0

suma nieparzystej liczby wyrazów ciagu jest równa pierwszemu wyrazowi ciągu