8. Narysowana poniżej bryła została utworzona w wyniku sklejenia ostroslupa prawidłowego i graniasto.... Question from @osobaXD

June 2022 1 6 Report

8. Narysowana poniżej bryła została utworzona w wyniku sklejenia ostroslupa prawidłowego i graniastosłupa. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryly
DAM NAJ WSZYSTKIE OBLICZENIA!

sappho24680

Verified answer

Pole powierzchni i objętość - bryła złożona z ostrosłupa i graniastosłupa.

Dla ostrosłupa prawidłowego (górna figura na rysunku) widzimy, że:
$(*)$ wysokość ściany bocznej to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4 - równa 5
$(*)$ stąd powierzchnia boczna tej figury jest równa:
$P_1 = 4 \times \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5 = 60$
$(*)$ z kolei objętość jest równa (wiedząc, że w podstawie mamy kwadrat - jest to ostrosłup prawidłowy):
$V_1 = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = 48$
Dla graniastosłupa mamy z kolei:
$(*)$ w podstawach - dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych długości 6 - stąd przeciwprostokątna jest równa:
$c = \sqrt{6^2 +6^2} = 6 \sqrt2$
$(*)$ Mamy więc pole powierzchni złożone ze ścian:
- dwóch trójkątów o przyprostokątnych długości 6
- ścianę "przednią" o bokach $6 \times 6\sqrt2$
- ścianę "tylną" o bokach $6 \times 6$
równe:
$P_2 = 2 \times \frac{1}{2} \cdot 6\cdot6 + 6\cdot6 \sqrt2 + 6^2 = 36+36\sqrt2+36 = 36(2 + \sqrt 2)$
$(*)$ zaś objętość jest równa:
$V_2 = \frac{1}{2} 6^2 \times 6 = 108$
Finalnie:
$(*)$ pole powierzchni bryły:
$P = P_1 + P_2 = 60 +36(2+\sqrt2) = 4(33 + 9 \sqrt2)$
$(*)$ objętość bryły:
$V = V_1 + V_2 = 48 + 108 = 156$

Warto zapamiętać:

trójkąt prostokątny równoramienny o boku długości $a$ to połowa kwadratu - stąd długość przeciwprostokątnej trójkąta jest równa długości przekątnej kwadratu: $a \sqrt2$
objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru:
$V = \frac{1}{3} P_p \times H$
graniastosłup (lub ostrosłup) prawidłowy to taka figura, która w podstawie ma wielokąt foremny (o bokach równej długości i kątach o równej mierze)