Question

Dwa zadanka z prawdopodobieństwa, proszę o dokładne rozpisanie. DAJE NAJ!!!

1.Drużyna siatkówki składa się z sześciu zawodników, z których jeden jest kapitanem. Do kontroli antydopingowej wybiera się dwóch zawodników. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że kontroli poddany zostanie kapitan drużyny?
odp.1/3

2. W pudełku jest 7 płyt CD włożonych losowo. Na trzech z nich znajdują się gry komputerowe. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie płyty z grami komputerowymi znajdują się obok siebie.
odp.1/7

Answer 1

1. Prawdopodobieństwo danego zdarzenia to liczba zdarzeń sprzyjających (czyli, że w dwójce zawodników wybranych do kontroli znajdzie się kapitan) podzielone przez liczbę wszystkich zdarzeń (wszystkie możliwe pary zawodników wybrane do kontroli). Obydwie wartości oblicza się ze wzoru na liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego: n!/(k!(n-k)!). Zatem liczba zdarzeń sprzyjających: wybieramy jedną osobę spośród pięciu (bo kapitan na pewno idzie na kontrolę, wybieramy tylko drugą osobę), czyli mamy 5!/1!*4!=5. Liczba wszystkich zdarzeń: wybieramy 2 osoby spośród sześciu, czyli mamy 6!/2!*4!=(5*6)/2=15. Ostatecznie, dzielimy 5 przez 15, otrzymujemy prawdopodobieństwo naszego zdarzenia ⅓.

2. Ponownie, należy podzielić liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń. Wszystkich zdarzeń jest 7! (obliczamy to ze wzoru na liczbę permutacji zbioru). Liczbę zdarzeń sprzyjających obliczamy następująco: jeśli mamy już 3 płyty z grami obok siebie, to możemy taką trójkę ułożyć na 5 sposobów (wystarczy zobaczyć jakie są możliwości położenia w pudełku pierwszej płyty, jeżeli umieścimy ją w pudełku nr 6 lub 7 to przynajmniej jedna z płyt już nie zmieści się obok), kiedy już mamy zarezerwowane 3 miejsca dla płyt z grami, to możemy je uporządkować na 3! sposobów, natomiast pozostałe 4 płyty porządkujemy na 4! sposobów (w obydwu przypadkach stosujemy wzór na liczbę permutacji zbioru). Zeby obliczyć prawdopodobieństwo naszego zdarzenia dzielimy liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczby wszystkich zdarzeń: (3!4!5)/(7!)=(1*2*3*1*2*3*4*5)/(1*2*3*4*5*6*7)=1/7