Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. sebagai contoh 0,333... .... Question from @Muazz

October 2018 1 93 Report

Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan 1/3. kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak hingga hingga dengan desimal berulang seperti 0,333.. dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
a. rancangan sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. beri contoh penerapan prosedur yang kamu rancang.
b. berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangaan irrasional π tidak mungkin sama dengan 22/7, karena 22/7hanyalan pendekatan untuk nilai π sebenarnya.

1) berapakah kesalahan 22/7 terhadap nilai π?
2) dengan menggunakan prosedur yang kamu rancang di atas tentukan pecahan yang lebih mendekati nilai π daripada 22/7 (kesalahannya lebih kecil)
3) apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh dari pada menggunakan 22/7

Takamori37 A.)
Prosedur untuk bilangan yang berjenis desimal tak hingga, dan berpola.
Pertama:
Tak berhingga (Terdapat 1 pola, 1 angka sama semua)
Misalkan angkanya adalah:
$n=0,aaa....$
Untuk a adalah bilangan asli dari 1 sampai 9.
Dengan menipulasi, akan didapat:
$10n=a,aaa...$

Dengan menguranginya di kedua ruas, akan diperoleh:
$$\begin{align}10n&=a,aaa\dots \\ n&=\underline{0,aaa\dots}\ \ - \\ 9n&=a \\ n&=\frac a9\end{align}$

Nantinya akan berlaku:
$$\begin{align}0,\underline{1}111\dots&=\frac{1}{9}
 \\ 
0,\underline{4}444\dots&=\frac{4}{9}\end{align}$
Dan seterusnya.

Kedua:
Untuk ada pola yang berulang lebih dari satu bilangan
Misalkan juga angkanya adalah:
$n=0,ababab\dots$
Supaya menghilangkan angka-angka di belakang koma, perlu mengalikan $10^k$ dengan k adalah banyaknya komponen angka yang berbeda.
Pada kasus ini, k = 2, sehingga menjadi:
$100n=ab,ababab\dots$

Sehingga, dengan mengurangi pada kedua ruas (seperti sebelumnya)
$$\begin{align}100n&=ab,ababab\dots \\ n&=\underline{0,ababab\dots}\ \ - \\ 99n&=ab \\ n&=\frac {ab}{99}\end{align}$

Nantinya juga akan berlaku untuk seluruh pola berikut:
$\boxed{n=\frac{abc...}{10^k-1}=\frac{\text{Angka-angka berpolanya}}{10^{\text{Banyaknya digit}}-1}}$

Misal:
$$\begin{align}0,\underline{17}17\dots&=\frac{17}{10^2-1}&&=\frac{17}{99} \\ 0,\underline{197}197\dots&=\frac{197}{10^3-1}&&=\frac{197}{999}\end{align}$
Dan seterusnya.

1.)
Mengenal π adalah bilangan irrasional dengan:
π ≈ 3,14159265358979323...
Sementara:
22/7 = 3,1428571428571...

Yang memiliki nilai kesalahan:
22/7 - π ≈ 3,14285714... - 3,14159265...
22/7 - π ≈ 0,012...

2.)
Dari prosedur yang sudah dirancang, coba menggunakan pendekatan untuk π dengan error yang kurang dari 0,012...
π ≈ 3,14159265...
Misalkan:
k = 3,14151415...
Didapat error lebih kecil, yakni ≈ 0,0000785
Dengan menggunakan pecahan:
$$\begin{align}3,\underline{1415}1415\dots&=3+0,\underline{1415}1415\dots \\ &=3+\frac{1415}{10^4-1} \\ &=3+\frac{1415}{9999} \\ &=\frac{29997+1415}{9999} \\ &=\frac{31412}{9999}\end{align}$
Boleh menggunakan aproksimasi seperti itu:
Pecahan yang lebih medekati untuk π = 31412/9999

3.)
Tampaknya angka yang seperti hasil di atas bukanlah hasil yang cukup mudah disederhanakan dengan apa yang sering digunakan dalam keseharian.
Maka, dari itu lebih baik untuk pembulatannya adalah 22/7 atau 3,14 saja.

5 votes Thanks 8

Muazz thanks yha ka

Muazz yg b mna ka ??

Takamori37 Sayangnya b tidak ada perintah dalam pengerjaan, sehingga hanya petunjuk saja.