Question

7. Serduszko widoczne na rysunku powstało z połączenia pewnego wielokąt z odpowiednimi półkolami. Oblicz pole i obwód serduszka. a)​

Answer 1

Odpowiedź:

P = (4 + π)a²/8

L = (4 + π√2)a/2

Szczegółowe wyjaśnienie:

Mamy figurę zbudowaną z trójkąta równoramiennego prostokątnego o przyprostokątnych a oraz dwóch półkoli tworzących całe koło o promieniu równym 1/4 przeciwprostokątnej trójkąta.

Pole trójkąta:

PΔ = (a · a)/2

PΔ = a²/2

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego o boku a wyraża się wzorem:

d = a√2

Promień koła stanowi 1/4, czyli:

r = 1/4 · a√2

r = a√2/4

Pole koła obliczymy ze wzoru:

Po = πr²

Podstawiamy:

Po = π · (a√2/4)²

Po = π · a² · 2/16

Po = πa²/8

Pole "serduszka":

P = PΔ + Po

P = a²/2 + πa²/8

P = 4a²/8 + πa²/8

P = (4 + π)a²/8

Obwód koła (długość okręgu) obliczamy ze wzoru:

Lo = 2πr

Podstawiamy:

Lo = 2π · a√2/4

Lo = (πa√2)/2

Obwód "serduszka":

L = 2a + (πa√2)/2

L = 4a/2 + (πa√2)/2

L = (4 + π√2)a/2