Question

/ - kreska ułamkowa

Rozwiąż nierówności używając wzorów skróconego mnożenia.
a) (2x+5)(2x-5) < (2x-9)²+2
b) (2x-3)²+5x(x+5) > (3x-2)²
c) x²-2(x-1)²/3 < (x-1)(x+2)/3
d) (x-5)²/2 - (2x-5)²/3 ≤ 5(x-6)²/6

Proszę o pomoc...;)

Answer 1

4x²-25 <4x²-36x+81+2
36x < 108
x < 3

4x²-12x+9+5x²+25x > 9x²-12x+4
25x > -5
x > -1/5

x²-2(x²-2x+1)/3 < (x²+2x-x-2)/3............|*3
3x²-2x²+4x-2 < x² +2x-x-2
3x < 0
x < 0

(x-5)²/2 - (2x-5)²/3 ≤ 5(x-6)²/6.......|*6
3(x²-10x+25) - 2(4x²-20x+25) ≤ 5(x²-12x+36)
3x²-30x+75 -8x²+40x-50 ≤ 5x²+60x+180
-30x+40x-60x ≤ 180-75+50
-50x ≤ 105
x ≥ 2.1

Answer 2

A) (2x+5)(2x-5) < (2x-9)²+2
4x²-25<4x²-36x+81+2
4x²-4x²+36x<83+25
36x<108
x<3

b) (2x-3)²+5x(x+5) > (3x-2)²
4x²-12x+9+5x²+25x>9x²-12x+4
4x²-12x+5x²+25x-9x²+12x>4-9
25x>-5
x>-1/5
c) x²-2(x-1)²/3 < (x-1)(x+2)/3 /*3
3x²-2(x²-2x+1)<(x-1)(x+2)
3x²-2x²+4x-2<x²+2x-x-2
x²+4x-2<x²+x-2
x²-x²+4x-x<-2+2
3x<0
x<0

d) (x-5)²/2 - (2x-5)²/3 ≤ 5(x-6)²/6 /*6
3(x²-10x+25)-2(4x²-20x+25)≤5(x²-12x+36)
3x²-30x+75-8x²+40x-50≤5x²-60x+180
5x²+10x-5x²-60x≤180-25
-50x≤155 /*(-1)
50x≥-155
x≥-3,1

Answer 3

(a+b)(a-b)=a²-b²
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²

a) (2x+5)(2x-5) < (2x-9)²+2
4x²-25 < (4x²-36+4)
4x²-25 < 4x²-32
4x²-4x² < -7
0 < -7 => nierówność sprzeczna, brak rozwiązania

b) (2x-3)²+5x(x+5) > (3x-2)²
4x²-12x+9 + 5x²+ 25x > 9x²-12x+4
9x²-9x²+25x > -5
25x > -5 |÷(25)
x > -⁵/₂₅
x > -¹/₅
x∈(-¹/₅, +∞)

c) x²-2(x-1)²/3 < (x-1)(x+2)/3 |×3
3x²-2(x²-2+2) < (x²+2x-x-2)
3x²-2x² < x²+x-2
3x²-2x²-x² < x-2
0 < x-2
x > 2
x∈(2,+∞) => jeśli podzielone przez trzy było tylko wyrażenie -2(x-1)²

x²-2(x²-2+2) < (x²+2x-x-2)
x²-2x² < x²+x-2
-x²-x²-x+2 < 0
-2x²-x+2 < 0
Δ=b²-4ac=1+8=9 => √Δ=3
x₁=(-b-√Δ)/2a v x₂=(-b+√Δ)/2a
x₁=(1-3)/-6 v x₂=(1+3)/-6
x₁=¹/₃ v x₂=-²/₃
a<0 => gałęzie wykresu skierowane w dół
x∈(-∞,-²/₃) υ (¹/₃, +∞) => jeżeli podzielone przez trzy było całe wyrażenie x²-2(x-1)² [powinno być całe w nawiasie ;)]
podejrzewam, że to pierwsze, ale dla pewności napisałam obydwa rozwiązania ;)

d) (x-5)²/2 - (2x-5)²/3 ≤ 5(x-6)²/6 |×6
3(x²-10x+25)-2(4x²-20x+25) ≤ 5(x²-12x+36)
3x²-30x+75-8x²+40x-50 ≤ 5x²-60x+180
3x²-8x²-5x²-30x+40x+60x ≤ 180-75+50
-10x²-70x ≤ 155
-10x²-70x-155 ≤ 0
Δ=b²-4ac=4900-6200=-1300m => brak miejsc zerowych
a<0 => gałęzie funkcji skierowane w dół
funkcja przyjmuje dla każdego argumentu wartości ujemne