Question

sinus kata alfa miedzy przekatna a jego krotszym bokiem jest rowny 5/6 oblicz cosinus kata rozwartego B miedzy przekatnymi tego prostokata​ 15 min pomozcie​

Answer 1

Odpowiedź:

cosinus kąta rozwartego β miedzy przekątnymi tego prostokąta

jest równy     cosβ = - 7/18

Szczegółowe wyjaśnienie:

W prostokącie przekątne przecinają się w połowie i  na połowie wysokości prostokąta.

Poprowadzimy odcinek prostej poziomej (równoległej do krótszego boku) przez punkt przecięcia przekątnych - odcinek ten dzieli kąt β na połowy,   β/2

[bo z podanej funkcji  sinα = (bok dłuższy)/przekątnej = 5/6   i tak należy oznaczył te boki,   5  i  6.

Krótszy bok (podstawę)  oznaczymy przez  x,  Z tw. Pitagorasa obliczymy:

x²  + 5²  = 6²   to     x² = 6² - 5² = 36 - 25 = 11  to  

krótszy bok  prostokąta   x = √11

Proszę zauważyć, że, że  kąty   α = β/2  (dwie proste równoległe przecięte przekątną),   więc      cosβ/2 = (krótszy bok  x)/(przekątnej)

to     cosβ/2 = √11/6

Teraz skorzystamy z tzw. kątów połówkowych (są w każdych tablicach  mat.-fiz.)

(1 + cosβ)/2 = cos²(β/2)     /•2     to   1 + cosβ = 2cos²(β/2)

cosβ = 2cos²(β/2) - 1 = 2•(√11/6)² - 1 = 2•11/36 - 36/36 = 11/18 - 18/18

to

cosβ = -7/18, wartość jest ujemna, ponieważ: w drugiej ćwiartce  (kąt rozwarty,  β ∈ (90º, 180º),   cosβ < 0

- dla wzorów redukcyjnych jest taki wierszyk, z akcentem na "plusy" (pozostałe to minusy):, łatwo zapamiętać:

W pierwszej ćwiartce same plusy "++++", w drugiej tylko sinus "+", w trzeciej tangens i cotangens "++" a w czwartej cosinus "+".