Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest jej równość. a)1+2+...+n=n(n.... Question from @Mati931

Konrad9001 Dowód przeprowadzimy przy pomocy indukcji matematycznej.

Na początek sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa dla n=1

a)

$1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2} \\ 1= \frac{1(1+1)}{2} \\ 1=1$

Następnie wybieramy dowolną na chwilę ustaloną liczbę naturalną k.

Załóżmy, że wyżej opisana równość jest prawdziwa dla ustalonej przez nas liczby k. Teraz musimy sprawdzić czy wynika z tego, że jest ona prawdziwa dla liczby k+1

Zatem sprawdzamy prawdziwość implikacji:

W(k)⇒W(k+1)

W(k)
$1+2+3+....+k= \frac{k(k+1)}{2}$ - Zakładamy, że to jest prawdziwe

W(k+1)
$1+2+3+....+(k+1)= \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

Przeprowadzamy dowód:
$1+2+3+...+(k+1)=1+2+3+...+k+(k+1) = \\ \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \\ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$

Na początku rozpisałem jak wygląda równość dla (k+1) potem należy zauważyć, że przed dodaniem (k+1) dodajemy k. Teraz wykorzystujemy nasze założenie, które uznaliśmy za prawdziwe. Dzięki temu udowodniamy, że równość jest prawdziwa dla liczby (k+1) a skoro równość jest prawdziwa dla n=1 oraz dla wyżej wypisanej implikacji to jest ona prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej

b) $1^2 + 2^2 +...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Powtarzamy operacje z podpunktu a)

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa dla n=1

$1^2= \frac{1(1+1)(2+1)}{6} \\ 1=1$

Teraz wybieramy dowolną na chwilę ustaloną liczbę k, zakładamy, że równość dla tej liczby jest prawdziwa i sprawdzamy czy wynika stąd prawdziwość dla (k+1)

W(k)⇒W(k+1)

W(k)
$1^2+2^2+...+n^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ - Zakładamy, że to jest prawdziwe

W(k+1)
$1^2+2^2+...+(k+1)^2= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$

Przeprowadzamy dowód:

$1^2+2^2+...+(k+1)^2=1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2 =$
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6} =$
$\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}$

$(2k^2+7k+6)$

Δ=49-48=1

$k_{1} = \frac{-7-1}{4} = -2 \\ k_{2} = \frac{-7+1}{4} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2}$

$k+ \frac{3}{2} = 0//*2 \\ 2k+3=0$

(k+2)(k+ $\frac{3}{2}$ )=(k+2)(2k+3)=((k+1)+1)((2k+2)+1)=((k+1)+1)(2(k+1)+1))

$\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$

Zatem skoro równość jest prawdziwa dla n=1 oraz z dowolnie wybranego k wynika, że równość jest prawdziwa dla k+1 to jest ona prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej n.

1 votes Thanks 1

eziu Przyjmę standardowe oznaczenia na sumy
$\sum_{i = 1}^{n} i := 1 + 2 + ... + n$
$\sum_{i = 1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + ... + n^2$

Rozważmy $\sum_{i = 1}^{n+1} i^2 = \sum_{i = 1}^{n} i^2 + (n+1)^2$
oraz przy przeindeksowaniu wskaźnika sumowania
$\sum_{i = 1}^{n+1} i^2 = \sum_{i = 0}^{n} (i+1)^2 = \sum_{i = 0}^{n} (i^2 + 2i + 1)$
Teraz przyrównajmy te sumy
$\sum_{i = 1}^{n} i^2 + (n+1)^2 = \sum_{i = 0}^{n} (i^2 + 2i + 1)$
$\sum_{i = 1}^{n} i^2 + (n+1)^2 = \sum_{i = 0}^{n} i^2 + 2 \sum_{i=0}^n i + \sum_{i=0}^n 1$
Ponieważ dla i = 0 $i^2 = 0$ oraz ostatnia suma to (n+1) jedynek mamy
$\sum_{i = 1}^{n} i^2 + (n+1)^2 = \sum_{i = 1}^{n} i^2 + 2 \sum_{i=1}^n i + n+1$
Zatem uproszczając wyrażenia po obu stronach mamy
$(n+1)^2 - (n+1) = 2 \sum_{i=1}^n i$
Czyli
$n(n+1)/2 = \sum_{i=1}^n i$
Podobnie pokażemy b)
Rozważmy $\sum_{i=1}^{n+1} i^3$ i zapiszmy to na dwa sposoby
$\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \sum_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3$
$\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \sum_{i =0}^{n} (i+1)^3 = \sum_{i =0}^{n} (i^3 + 3i^2 + 3i +1) = \sum_{i=1}^n i^3 + 3 \sum_{i=1}^n i^2 + 3 \sum_{i=1}^n i+ n+1$
gdzie ostatnia równość powstała jak w a)
Wstawiamy jeszcze za $\sum_{i=1}^n i$ to co nam wyszło w a) i przyrównujemy równości
$\sum_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3 = \sum_{i=1}^n i^3 + 3 \sum_{i=1}^n i^2 + 3 n(n+1)/2 + n+1$
i porządkujemy obie strony
$3 \sum_{i=1}^n i^2 = (n+1)^3 - (3 n(n+1)/2 + n+1)$
No i na sam koniec wystarczy uporządkować wielomian po prawej stronie i podzielić przez 3
$3 \sum_{i=1}^n i^2 = (n+1)^3 - (3 n(n+1)/2 + n+1) = (n+1)((n+1)^2 - 3n/2 - 1) =(n+1)/2 \cdot (2n^2 + n) = (n+1)(2n+1)n / 2$
$\sum_{i=1}^n i^2 = (n+1)(2n+1)n / 6$

0 votes Thanks 1

zadanie 11 Bardzo proszę o pomoc daję naj. Zadanie w załączniku

Zadanie 11Nie mam pojęcia jak zrobić. Pomocy daj naj!

Excel funkcja "jeżeli" Stwórz drzewo decyzyjne które wypisze w kolejności rosnącej trzy liczby zapisane w komórkach A1,A2,A3. I przestaw w postaci funkcji kodu funkcji "jeżeli". Oczywiście daje naj!

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social