1.oblicz trzeci, czwarty i piąty wyraz ciągu określonego wzorem An=(n^2-2n+3)/6 2.zbadaj monotoniczn.... Question from @por356

November 2018 1 7 Report

1.oblicz trzeci, czwarty i piąty wyraz ciągu określonego wzorem An=(n^2-2n+3)/6 2.zbadaj monotoniczność ciągu okręślonego wzorem An=1+ 1__ n 3.jakimi liczbami należy zastąpić litery a i b aby 7,a ,b, 16 w podanej kolejnosci tworzyły ciąg arytmetyczny (chodzi mi o wzór) 4. Liczby 8,10,12,14 to cztery pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego. znajdź dziesiąty wyraz tego ciągu oraz sumę dziesięciu początkowych jego wyrazów. 5. wyznacz ciąg arytmetyczny (A1 i r ) oraz oblicz s7, gdy a6=2 i a19=15

Roma

Zad. 1

$a_n=\frac{n^2-2n+3}{6} \\\\ a_3 = \frac{3^2-2\cdot 3+3}{6} = \frac{9-6+3}{6} = \frac{6}{6} = 1 \\\\ a_4 = \frac{4^2-2 \cdot 4+3}{6} = \frac{16-8+3}{6} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}\\\\ a_5 = \frac{5^2-2 \cdot 5+3}{6}= \frac{25-10+3}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Zad. 2

$a_n = 1 + \frac{1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n} \\\\ a_{n+1} = \frac{n+1 + 1}{n+1} = \frac{n + 2}{n+1} \\\\ a_{n+1} - a_n = \frac{n + 2}{n+1} - \frac{n + 1}{n} = \frac{(n + 2) \cdot n}{n \cdot (n+1)} - \frac{(n + 1)\cdot (n+1)}{n \cdot (n+1)} = \\\\ = \frac{n^2 + 2n}{n \cdot (n+1)} - \frac{n^2 + 2n + 1}{n \cdot (n+1)} =\frac{n^2 + 2n - n^2 - 2n - 1}{n \cdot (n+1)} = \frac{-1}{n \cdot (n+1)}$

Wyrażenie:

$\frac{-1}{n \cdot (n+1)}$

dla każdego n ∈ N jest ujemne, bo iloczyn n·(n+1) jest dodtanik, a iloraz liczby ujemnej przez dodtanią jest ujemny. Zatem różnica:

$a_{n+1} - a_n < 0$

co na podstawie definicji oznacza, że ciąg (an) jest malejący.

Zad. 3

7,a ,b, 16 - ciąg arytmetyczny

Skorzystamy z własności ciągu arytmetycznego: Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to każdy wyraz tego ciągu, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiadujących.

Stąd:

$\left \{ {{a=\frac{7+b}{2} \ / \cdot 2} \atop {b=\frac{a+16}{2} \ / \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{2a=7+b} \atop {2b=a+16}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2a-7} \atop {2 \cdot (2a - 7)=a+16}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2a-7} \atop {4a - 14=a+16}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2a-7} \atop {4a - a=16+14}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2a-7} \atop {3a=30 \ /:3}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2a-7} \atop {a=10}} \right. \\\\ \left \{ {{b =2 \cdot 10-7} \atop {a=10}} \right.$

$\left \{ {{b =20-7} \atop {a=10}} \right. \\\\ \left \{ {{b =13} \atop {a=10}} \right. \\\\ \left \{ {{a=10} \atop {b=13}} \right.$

a = 10, b = 13

7, 10, 13, 16 - ciąg arytmetyczny

Zad. 4

8, 10, 12, 14 - ciąg arytmetyczny

a₁ = 8

a₂ = 10

a₃ = 12

a₄ = 14

$r = a_2 - a-1 = 10 - 8 = 2 \\\\ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \\\\ Zatem: \\\ a_n = 8 + (n - 1) \cdot 2 = 8 + 2n - 2 = 2n + 6 \\\\ a_{10} = 2 \cdot 10 + 6 = 20+6 = 26 \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\\\ Zatem: \\\ S_{10} = \frac{8 + 26}{2} \cdot 10 = 34 \cdot 5 = 170$

a₁₀ = 26 i S₁₀ = 170

Zad. 5

a₆ = 2 i a₁₉ = 15

$a_6 = 2 \ i \ a_{19} = 15 \\\\ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \\\\ a_6 = a_1 + (6 - 1) \cdot r = a_1 + 5r \\\ a_1 + 5r = 2 \\\\ a_{19} = a_1 + (19 - 1) \cdot r = a_1 + 18r \\\ a_1 + 18r = 15$

Stąd:

$\left \{ {{a_1 + 5r = 2 \ / \cdot (-1)} \atop {a_1 + 18r = 15}} \right. \\\\ \underline{\left \{ {{-a_1- 5r = -2} \atop {a_1 + 18r = 15}} \right.} \\\\ 13r = 13 \ /:13 \\\ r = 1 \\\\ a_1 + 5r = 2 \\\ a_1 + 5 \cdot 1 = 2 \\\ a_1 + 5 = 2 \\\ a_1 = 2 - 5 \\\ a_1 =-3 \\\\ \left \{ {{a_1 = - 3} \atop {r = 1}} \right.$

Zatem:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \\\\ a_n = -3 + (n - 1) \cdot 1 = -3+n-1= n-4 \\\\ a_7 = 7 -4 = 3 \\\\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\\\ S_7 = \frac{-3 + 3}{2} \cdot 7 = \frac{0}{2} \cdot 7 =0 \cdot 7 = 0$