Question

140 punktów za jedno zadanie!!
Wybieramy losowo liczbę naturalna spośród liczb od 1 do n, a następnie rzucamy sześcienną kostka do gry taka liczbę razy, jaka wylosowaliśmy. Oblicz prawdopodobieństwo ze wyrzucimy same szóstki.

Odpowiedz do tego zadania to:
(1-⅙^n)/5n
(jeden minus jedna szósta do potęgi n)
Oczekuje rozpisania toku rozumowania.

Answer 1

Z prawdopodobieństwem 1/n wylosujemy 1
Wtedy prawdopodobieństwo wyrzucenia samych 6, to 1/6

Z prawdopodobieństwem 1/n wylosujemy 2
Wtedy prawdopodobieństwo wyrzucenia samych 6, to 1/6 ^ 2

...

Z prawdopodobieństwem 1/n wylosujemy n
Wtedy prawdopodobieństwo wyrzucenia samych 6, to 1/6 ^ n


Zatem w ogóle p-wo wyrzucenia samych 6 to:

1/n * 1/6 + 1/n * 1/6 ^ 2 + ... + 1/n * 1/6 ^ n =
= 1/n ( 1/6 + 1/6 ^ 2 + ... + 1/6 ^ n) = ...

w nawiasie mamy ciąg geometryczny o wyrazie początkowym 1/6 i ilorazie 1/6
suma n wyrazów tego ciągu to:
a1 * (1-q^n) / (1-q) =
= 1/6 * (1-1/6^n)/(1-1/6) =
= 1/6 * (1-1/6^n)/(5/6) =
= 1/6 * 6/5 * (1-1/6^n) = 1/5 * (1-1/6^n)

A powyżej mieliśmy jeszcze 1/n, zatem ostateczny wynik to:

1/n * 1/5 * (1-1/6^n) = (1-1/6^n) / 5n