Question

Wiedząc ze α jest kątem ostrym i tg α=3,oblicz wartość wyrazenia 8cos α-7sin α/5cos α+2 sin α

Answer 1

Tgα=3
Wiemy, że tgx*ctgx=1, więc:
tgα*ctgα=1
3*ctgα=1
ctgα=1/3

wiemy też, że sin²α+cos²α=1 <--policzymy z tego sinus:
sin²α+cos²α=1
sin²α=1-cos²α
sinα=√(1-cos²α)

a wiemy przecież, że tgα = sinα/cosα, tak więc:
tgα = sinα/cosα
tgα = √(1-cos²α)/cosα
3 = √(1-cos²α)/cosα |*cosα
3cosα= √(1-cos²α)
żeby się chwilowo nie posługiwać cosinus, załóżmy że cosinus=x
3x=√(1-x²) |()²
3x²=1-x²
4x²=1
x²=¼
x=½=cosα

tak więc znamy już tangens, cotangens, cosinus... został sinus, ale to już proste:

sin²α+cos²α=1
sin²α+(±½)²=1
sin²α=1-(¼)
sin²α=¾
sinα=√3/2

wiedząc, że sinα=√3/2, cosα=½, tgα=3 i ctgα=⅓ możemy liczyć:

8cosα- 7sinα / 5cosα+ 2sinα =
= 8*½-7*√3/2 / 5*½ + 2*√3/2 =
= (4-7√3/2)/ (5/2)+√3
= (16-√3)/2 / (5+2√3)/2
podzielić znaczy pomnożyć przez odwrotność - i tak:
(16-√3)/2 * 2/(5+2√3)
16-√3/5+2√3
usuwamy niewymierność z mianownika:
(16-√3)*(5-2√3)/(5+2√3)*(5-2√3)
80-32√3-5√3+6/25-12=86-37√3/13
sprawdź wynik czy się nie pomyliłam ;)