Question

Oblicz pole Trojkata równoramiennego o obwodzie równym 28 cm jeśli cosinus kata przy podstawie jest równy 2/5

Answer 1

Rozwiązanie:

Niech ramiona mają długości , wtedy podstawa jest równa . Z twierdzenia cosinusów dostaniemy:

Łatwo zauważyć, że , więc . To oznacza, że drugie rozwiązanie nie spełnia warunków zadania.

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

Obliczamy pole trójkąta:

Answer 2

a -  długość podstawy trójkąta równoramiennego

b - długość ramienia

a+2b=28cm

2b=28cm-a|:2

b=14cm-1/2a

Korzystamy z tw. cosinusów:

b²=a²+b²-2ab·2/5

-a²=-4/5ab |:(-a)

a=4/5b

a=4/5(14cm-1/2a)|·5

5a=4(14cm-1/2a)

5a=56cm-2a

5a+2a=56cm

7a=56cm|:7

a=8cm

b=14cm-1/2·8cm

b=10cm

Korzystamy z tw. Pitagorasa :

(1/2a)²+h²=b² , gdzie h - wysokość opuszczona na bok a

(1/2·8cm)²+h²=(10cm)²

16cm²+h²=100cm²

h²=100cm²-16cm²

h²=84cm²

h=√(84cm²)

h=2√21cm

PΔ=1/2ah

PΔ=1/2·8cm·2√21 cm

PΔ=8√21 cm²

Uwaga,można też tak :

Jeśli cosα=2/5 , to sinα=√(1-(2/5)²)=√(1-4/25)=√(21/25)=√21/5 .

Stąd :

PΔ=1/2absinα

PΔ=1/2·8cm·10cm·√21/5

PΔ=8√21 cm²