Question

*5. Reszty z dzielenia przez 9 liczb naturalnych: a, b i c wynoszą odpowiednio: 2, 3 i 4. Wykaż że suma liczb a, b i c jest liczbą podzielną przez 9


Jest to bardzo ciężkie, więc jeżeli nie umiesz to nie pisz głupich odpowiedzi!

Answer 1

Answer 2

Szczegółowe wyjaśnienie:

Udowodnimy następujący znany fakt:

Jeżeli suma reszt z dzielenia przez n dawanych przez pewne liczby całkowite jest podzielna przez n, to suma tych liczb także jest podzielna przez n.

Zauważmy, że 2+3+4=9, zatem udowodnienie powyższego faktu gwarantuje nam tezę.

Dowód. Niech rozważanymi liczbami będą . Podzielmy te liczby z resztą przez n, aby otrzymać następujące równości:

Zatem suma liczb   jest równa:

Z założenia , czyli suma reszt z dzielenia jest podzielna przez n. Ponadto jest podzielne przez n jako iloczyn liczby n przez pewną liczbę całkowitą. Zatem także jest podzielne przez n, jako suma dwóch liczb podzielnych przez n, co było do udowodnienia.