Question

Bardzo proszę o wytłumaczenie mi jak rozwiązauje się zadania z własności prawdopodobieństwa, oraz podania wzorów. Nie było mnie na lekcji i nie rozumiem tego :/

Tylko błagam nie kopiujcie definicji z wikipedii itp., bo ja chcę to zrozumieć!

Chodzi oczywiście o poziom PODSTAWOWY, żadnych rozrzeszeń :P

Przykładowe zadanie:

Wiedząc, że: P(A)= 1/2, P(B' )= 1/3, P(A u B)= 4/5 oblicz:

a) P(A u B)

b) P(A' U B' )

Z góry dzięki!

Answer 1

Maksymalna wartość prawdopodobieństwa wynosi 1. Najniższa wartość prawdopodobieństwa wynosi 0.

 

Zbiór A' jest dopełnieniem zbioru A. W skrócie- w zbiorze A' zawarte jest wszystko inne co nie zostało zawarte w zbiorze A.

Przykładowo mamy talię 52 kart. Zbiorem A są wszystkie asy- czyli jest ich 4 (po jednym z każdego koloru). Zbiorem A' w tym przypadku są wszystkie karty poza asami- czyli jest ich 48.

 

Często używa się prawdopodobieństa ze zbioru A' by łatwiej było policzyć prawdopodobieństwo ze zbioru A.

Własność wygląda tak:

P(A')= 1 - P(A)

Jak wyżej. Wszystko inne co nie zostało zawarte w zbiorze A.

 

Przykładowo jeżeli mamy zadanie typu: z talii 52 kart losujemy 4 karty. Oblicz prawdopodobieńśtwo, że wylosujemy co najmniej jednego asa.

Zbiorem A jest tu wylosowanie co najmniej jednego asa.

Normalnie musielibyśmy liczyć osobno prawdopodobieńśtwo, że wylosujemy jednego asa, dwa asy, trzy asy i cztery asy. Sporo czasu może to zająć.

Zbiorem A' jest tu sytuacja, w której nie wylosujemy ani jednego asa. Czyli trzeba wylosować 4 karty spośród 48 pozostałych kart. Starczy policzyć tylko jedną możliwość, sporo mniej roboty, a potem już tylko korzystamy z własności: P(A')= 1 - P(A), odwracamy i wychodzi P(A)= 1 - P(A')

 

 

Dlaczego odejmujemy ? Ładnie to widać jeżeli się narysuje np. dwa koła, które mają pewną część wspólną. W wielkim skrócie jeżeli dodamy całe pole A (wraz z tą częścią, która jest wspolna ze zbiorem B), a potem dodamy cały zbiór B to tak naprawdę wyjdzie trochę za dużo niż powinno, ponieważ dodaliśmy tę samą część dwa razy. Tak więc odejmuje się .

 

Aksjomat 2:

P(Omega)=1

 

Aksjomat 1:

P(A)>=0

Czyli to co wyżej napisałem. Najmniejsza wartość prawdopodobieństwa wynosi 0, największa 1.

 

 

a)

 

W punkcie b) skoro P(A u B)= 4/5 to P(A' U B' )= 1 - P(A u B). Czyli P(A' u B')= 1/5.

 

Edit: Jest w sumie jeszcze parę własności, ale są one oczywiste. Np.

Prawdopodobieństwo dla zbioru pustego wynosi 0.

Jeżeli A jest zawarte w B to P(A) P(B) itp.