Tentukan persamaan garis singgung elips x² + y²/5 =1 melalui titik (-2,-1).... Question from @evitaputri

September 2018 1 83 Report

Tentukan persamaan garis singgung elips x² + y²/5 =1 melalui titik (-2,-1)

Takamori37 Untuk garis singgung di luar elips pada umumnya terdapat 2 garis singgung.
Langkah 1:
Tentukan persamaan garis polar:
Melalui (-2,-1)
Persamaan garis polar dengan persamaan x² + y²/5 = 1
Adalah:
x' x + y' y/5 = 1
-2x - y/5 = 1
Kalikan kedua ruas dengan 5
-10x - y = 5
y = -10x - 5

Langkah 2:
Tentukan titik potong garis polar dengan elips:
x² + y²/5 = 1
x² + (-10x-5)²/5 = 1
x² + (100x²+100x+25)/5 = 1
x² + 20x² + 20x + 5 = 1
21x² + 20x + 4 = 0
Dengan Rumus ABC:
$\displaystyle x=\frac{-20\pm\sqrt{400-324}}{42}=\frac{-20\pm\sqrt{76}}{42} \\\\ x=\frac{-20\pm2\sqrt{19}}{42}=\frac{-10\pm\sqrt{19}}{21}$

Untuk $\displaystyle x=\frac{-10-\sqrt{19}}{21}$
Dapat diidentifikasi juga ordinatnya dengan garis polar:
$y=-10x-5 \\ \displaystyle y=-10\times\frac{-10-\sqrt{19}}{21}-5 \\\\ y=\frac{-205-10\sqrt{19}}{21}$

Maka, titik pertamanya adalah:
$\displaystyle \left(\frac{-10-\sqrt{19}}{21},\frac{-205-10\sqrt{19}}{21}\right)$

Untuk $\displaystyle x=\frac{-10+\sqrt{19}}{21}$
Dapat diidentifikasi juga ordinatnya dengan garis polar:
$y=-10x-5 \\ \displaystyle y=-10\times\frac{-10+\sqrt{19}}{21}-5 \\\\ y=\frac{-205+10\sqrt{19}}{21}$

Maka, titik keduanya adalah:
$\displaystyle \left(\frac{-10+\sqrt{19}}{21},\frac{-205+10\sqrt{19}}{21}\right)$

Langkah 3:
Tarik persamaan garis lurus dari titik yang disebutkan dengan masing-masing titik potong tersebut:
Persamaan garis singgung 1:
Melalui titik potong 1 dan (-2,-1)
$\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\\\ \frac{y-(-1)}{\frac{-205-10\sqrt{19}}{21}-(-1)}=\frac{x-(-2)}{\frac{-10-\sqrt{19}}{21}-(-2)} \\\\ \frac{y+1}{\frac{-184-10\sqrt{19}}{21}}=\frac{x+2}{\frac{32-\sqrt{19}}{21}} \\\\ (32-\sqrt{19})(y+1)=(-184-10\sqrt{19})(x+2) \\ (32-\sqrt{19})y+32-\sqrt{19}=-(184+10\sqrt{19})x-(368+20\sqrt{19}) \\ (184+10\sqrt{19})x+(32-\sqrt{19})y+32+368-\sqrt{19}+20\sqrt{19}=0\\(184+10\sqrt{19})x+(32-\sqrt{19})y+400-19\sqrt{19}=0$

Persamaan garis singgung 2:
$\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\\\ \frac{y-(-1)}{\frac{-205+10\sqrt{19}}{21}-(-1)}=\frac{x-(-2)}{\frac{-10+\sqrt{19}}{21}-(-2)} \\\\ \frac{y+1}{\frac{-184+10\sqrt{19}}{21}}=\frac{x+2}{\frac{32+\sqrt{19}}{21}} \\\\ (32+\sqrt{19})(y+1)=(-184+10\sqrt{19})(x+2) \\ (32+\sqrt{19})y+32+\sqrt{19}=-(184-10\sqrt{19})x-(368-20\sqrt{19}) \\ (184-10\sqrt{19})x+(32-\sqrt{19})y+32+368-\sqrt{19}-20\sqrt{19}=0\\(184-10\sqrt{19})x+(32+\sqrt{19})y+400-21\sqrt{19}=0$

3 votes Thanks 15