Cześć, mam problem. Żeby uzyskać piątkę z testu z matematyki muszę rozwiązać pewne zadanie.Rozwiązał.... Question from @kornel94

September 2018 2 42 Report

Cześć,
mam problem. Żeby uzyskać piątkę z testu z matematyki muszę rozwiązać pewne zadanie.
Rozwiązałem je do pewnego stopnia, ale nie wiem co dalej...
Zagadnenie: funkcja kwadratowa-zadanie optymalzujące.
Treść zadania mniej więcej taka:
"drut o długości 6cm podzielono na dwa odcinki. Z jednego odcinka zrobiono kwadrat a z drógiego trójkąt rónoboczny .
Podaj (chyba) długości boków (lub buku-nie pamiętam ;s ) tak, aby suma pól powierzchni tych figur było najmniejsza."

Awięc:
długość odcinka:6;
długość jednego boku:x;
długość drógiego boku: 6-x;
pole kwadratu: (1/4x)^2;
pole trójkąta: [ (6-x)^2 * pierwastek z 3 ] przez 4
teraz potrzebuję sumy tych pól powierzchni, delty, miejsc zerowych no i odpowiedzi, czyli długości odcinka takiej, żeby suma tych pól powierzchni była najmnejsza

nivellen

x - odcinek z ktorego zrobiono kwadrat

y - -------------------------------- trójkat rownoboczny

Dziedzina

x∈(0;6)

------------------------

x+y=6

y=6-x

funkcja opisująca sumę pól

$f_{(x)}=(\frac{x}{4})^2+\frac{(\frac{6-x}{3})^2*\sqrt3}{4}\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+\frac{\frac{36-12x+x^2}{9}*\sqrt3}{4}\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+{\frac{36-12x+x^2}{36}*\sqrt3}$

$\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+{\frac{36-12x+x^2}{36}*\sqrt3}\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+(1-\frac{x}{3}+\frac{x^2}{36})\sqrt3\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+\sqrt3-\frac{\sqrt3x}{3}+\frac{x^2\sqrt3}{36}$

$\\f_{(x)}=\frac{x^2}{16}+\sqrt3-\frac{\sqrt3x}{3}+\frac{x^2\sqrt3}{36}\\f_{(x)}=\frac{9x^2+4\sqrt3x^2}{144}-\frac{\sqrt3}{3}x+\sqrt3\\f_{(x)}=\frac{9+4\sqrt3}{144}x^2-\frac{\sqrt3}{3}x+\sqrt3$

nie potrzebujesz miejsc zerowych, tylko takiego x dla którego te pola są najmniejsze, czyli wierzchołka paraboli

$p=\frac{-b}{2a}\\p=\frac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{9+4\sqrt3}{72}}\\p=\frac{72\sqrt3}{27+12\sqrt3}$

$p=\frac{72\sqrt3}{27+12\sqrt3}\\p=\frac{72\sqrt3*(27-12\sqrt3)}{(27+12\sqrt3)*(27-12\sqrt3)}\\p=\frac{1944\sqrt3-2592}{729-432}\\p=\frac{1944\sqrt3-2592}{297}$

p to około 2,6, więc mieści się w dziedzinie. na pewno można tam coś skrócić tylko tu na kompie ciężko się pisze :)

jeden odcinek to około 2,6 , drugi to około 3,4

1 votes Thanks 1

platon1984

Załóżmy, że na kwadrat wzięto odcinek o długości x, a na trójkąt l-x,, gdzie l=6cm.

Pole kwadratu;

$S=\frac{x^2}{16}$

trywialne

pole trójkąta równobocznego:

$S_2=\frac{(l-x)^2\sqrt{3}}{36}=\frac{(l^2-2lx+x^2)\sqrt{3}}{36}$

suma tych pól jest funkcją x:

$P(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{x^2\sqrt{3}}{36}-\frac{lx\sqrt{3}}{18}+\frac{l^2\sqrt{3}}{36}$

pozostało nam zminimalizować tę funkcję, w tym celu liczymy pochodną i przyrównujemy ją do zera:

$\frac{dP}{dx}=x/8+\frac{2x\sqrt{3}}{36}-\frac{l\sqrt{3}}{18}=0$

$x(1/8+\frac{\sqrt{3}}{18})=\frac{l\sqrt{3}}{18}\\ x=\frac{l\sqrt{3}}{2.25+\sqrt{3}}$

oraz oczywiście wtedy y:

$y=l-x$

druga metoda, to popatrzeć na naszą funkcję jako na trójmian kwadratowy, którego minimum to wierzchołek paraboli:

$Wx=\frac{-b}{2a}=\frac{l\sqrt{3}}{18}\cdot\frac{1}{1/8+2\sqrt{3}/36}=\frac{l\sqrt{3}}{2.25+\sqrt{3}}$

co prowadzi do tego samego wyniku;

podstawiając dane:

$x=\frac{6cm\sqrt{3}}{2.25+\sqrt{3}}\approx2.61$

oraz

$y=l-x\approx3.39$

zatem boki to:

$x/4\approx0.652cm$

oraz

$y/3\approx1.13cm$

pozdrawiam

UWAGA: w treści zadania nie jest powiedziane, że drut podzielono na równe dwie cześci i w tym cały dowcip

1 votes Thanks 1

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

W jaki sposób z poniższego równania: otrzymać ładunek w funkcji czasu: nie rozumiem przekształcenia i nie jestem pewny, czy jest ono prawidłowe. Za pomoc bardzo dziękuję :)

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social