Question

Podstawa AB trojkata rownobocznego ABC zawarta jest w prostej y=3/4x+1 a wierzcholek C=(-1,4). wyznacz wspolrzedne wierzcholkow A, B tego trojkata

Answer 1

Najpierw obliczamy odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB (bedzie to wysokość tego trójkąta):
oto wzór
|Ax₀+By₀+C|
--------------- <-- kreska ułamkowa
√A²+B²

aby podstawic do powyzszego wzoru rownanie prostej nalezy je przekształcić:
y=3/4x+1 ==> -3/4x+y-1=0 gdzie A=-3/4, B=1, C=-1

Podstawiamy do wzoru:
|(-3/4)*(-1)+1*4+(-1)| |3/4+4-1| |15/4| 15/4
-------------------------- = ------------ = --------- = ------ = 15/4 * 4/5=
√(-3/4)²+1² √9/16+1 √25/16 5/4
15 4
= ---- * ----- = 3
4 5
Wysokość wynosi 3.
wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
a√3 a√3 6 √3
h= ---- ==> 3= ---- //*2 ==> 6=a√3 //:√3 ==> a= ---- * ----- =
2 2 √3 √3
6√3
= ---- = 2√3
3
bok tego trójkąta wynosi 2√3
Obliczamy równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej AB:
y=ax+b
4=-4/3*(-1)+b
4=4/3+b
b=4-4/3
b=12/3-4/3=8/3
y=-4/3 x+8/3

Obliczamy współrzedne środka podstawy AB ze wzoru na przecinające cie dwie proste

y=-4/3 x+8/3
- y=3/4 x+1
----------------
0=-4/3 x- 3/4 x +5/3
0=-16/12 x- 9/12 x +5/3
0=-25/12 x+5/3
25/12 x= 5/3 //:25/12
x=5/3 *12/25
x=4/5

y=3/4*4/5+1
y=3/5+1
y=8/5
współrzęne srodka podstawy AB to (4/5, 8/5)

obliczamy teraz w układzie równan współrzedne punktów A i B
(równanie okręgu i prosta zawierająca AB)

(x-a)²+(y-b)²=r²
y=ax+b

(x-(-1))²+(y-4)²=(2√3)²
y=3/4x+1

(x+1)²+y²-8y+16=4*3
y=3/4x+1

x²+2x+1+y²-8y+16=12
y=3/4x+1

I rownanie
x²+2x+1+(3/4x+1)²-8(3/4x+1)+16=12
x²+2x+1+9/16x²+6/4x+1-(6x+8)+16=12
x²+2x+1+9/16x²+6/4x+1-6x-8+16-12=0
x²+9/16x²+2x+6/4x-6x+1+1-8+16-12=0
25/16x²-10/4x-2=0 //:25/16
x²-8/5x-32/25=0

Δ=b²-4ac
Δ=(8/5)²-4*1*(-32/25)
Δ=64/25+128/25
Δ=192/25
√Δ=√192/25=8√3

x=(8/5-8√3)/2 ∨ x=(8/5+8√3)/2
x=4/5-4√3 ∨ x=4/5+4√3
y=3/4(4/5-4√3)+1 ∨ y=3/4(4/5+4√3)+1
y=3/5-3√3+1 ∨ y=3/5+3√3+1
y=8/5-3√3 ∨ y=8/5+3√3

A(4/5-4√3, 8/5-3√3) lub A(4/5+4√3, 8/5+3√3)

Jeszcze tylko współrzęne punktu B
4/5=(4/5-4√3+xb)/2 //*2 lub 4/5=(4/5+4√3+xb)/2 //*2
8/5=4/5-4√3+xb lub 8/5=4/5+4√3+xb
xb=-4/5+8/5+4√3 lub xb=-4/5-+8/5-4√3
xb=4/5+4√3 lub xb=4/5-4√3

8/5=(8/5-3√3+yb)/2 //*2 lub 8/5=(8/5+3√3+yb)/2 //*2
16/5=8/5-3√3+yb lub 16/5=8/5+3√3+yb
yb=16/5-8/5+3√3 lub yb=16/5-8/5-3√3
yb=8/5+3√3 lub yb=8/5-3√3

ODP. A(4/5-4√3, 8/5-3√3), B(4/5+4√3, 8/5+3√3)
lub A(4/5+4√3, 8/5+3√3), B(4/5-4√3, 8/5-3√3)