Question

4.
Ile początkowych wyrazów ciągu an=3n+2 należy dodać, aby suma była większa niż 1000

5.
Wyznacz wyraz enty, którego suma wyraża się wzorem n²+5n

Answer 1

z.4

an = 3n + 2

zatem

a1 = 3*1 + 2 = 5

a2 = 3*2 +2 = 8

a3 =3*3 + 2 = 11

a3 - a2 = a2 - a1 = 3

Mamy:

a1 = 5   oraz  r = 3  -  ciąg  arytmetyczny

Sn = 0,5*[ a1 + an]*n = 0,5 *[ 5 + 3n + 2]*n = 0,5*[3n + 7]*n = 1,5 n^2 + 3,5 n

Sn = 1,5 n^2 + 3,5 n

======================

Sn > 1000 , zatem

1,5 n^2 + 3,5 n > 1000

1,5 n^2 + 3,5 n - 1000 > 0

delta = 12,25 - 4*1,5*(-1000) = 12,25 + 6000 = 6012,25

p (delty ) = około 77,54

n1 = [ -3,5 - 77,54]/3 < 0

n2 = [ -3,5 + 77,54]/3 = 74,04/3 = 24,68

zatem

1,5 n^2 + 3,5 n - 1000 > 0   dla  n > 24,68

czyli  n = 25

===============

z.5

Sn = n^2 + 5n

zatem

a1 = S1 = 1^2 + 5*1 = 1 = 5 = 6

S2 = a1 +a2 = 2^2 +5*2 = 4 + 10 = 14

zatem

a2 = 14 - 6 = 8

S3 = a1 + a2 + a3  = 3^2 + 5*3 = 9 + 15 = 24

zatem

a3 = 24 - 6 - 8 = 10

Mamy

a3 - a2 = 10 - 8 = 2   oraz  a2 - a1 = 8 - 6 = 2

Jest to ciąg arytmetyczny o

a1 = 6  oraz  r = 2, zatem

an = a1 + (n-1)*r = 6 + (n-1)*2 = 6 + 2n - 2 = 2n + 4

Odp. an = 2n + 4

==================