Question

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f str 302/4
Prosiłbym o zrobienie i wytłumaczenie o co chodzi w zadaniu.Prosiłbym o wykonanie tylko przykładów (a,b,e)

Answer 1

Chwilę dłuższą mi to zajęło ale udało mi się znaleźć rozwiązanie. Ostatecznie e) także udało mi się rozwiązać. Wszystko masz w załącznikach a teraz kilka słów wyjaśnienia.

Funkcji tych nie da się dokładnie narysować bez posługiwania się jakimś programem komputerowym dlatego musimy tutaj skorzystać z ich pochodnych. Mamy znaleźć przedziały monotoniczności czyli określić kiedy funkcja rośnie a kiedy maleje. Otóż tak się składa, że monotoniczność funkcji jest zależna od znaku pochodnej. Gdy wartości pochodnej są większe od 0 to funkcja rośnie natomiast, gdy mniejsze niż 0 to funkcja maleje.

a)

Wyznaczyłem pochodną tej funkcji korzystając z następującego wzoru:



Następnie narysowałem wzór tej pochodnej i określiłem przedziały, w których pochodna przyjmuje wartości dodatnie a w których ujemne. Przedziały te pokrywają się z monotonicznością interesującej nas funkcji co już wyjaśniłem powyżej.

Podpunkt b) wykonujemy analogicznie do podpunktu a). Wyznaczamy pochodną z wzoru, który podałem, rysujemy jej wykres i wyznaczamy przedziały monotoniczności.

W podpunkcie e) sytuacja wygląda nieco inaczej ponieważ mamy do czynienia z ilorazem wielomianów dlatego musimy skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu:



Pochodne, które występują w liczniku wyliczamy z wzoru podanego wcześniej i w efekcie otrzymujemy wzór pochodnej tej funkcji.

Wiemy już, że funkcja rośnie, gdy znak pochodnej jest dodatni a maleje, gdy jest ujemny więc wystarczy porównać wzór pochodnej z zerem i obliczyć kiedy przyjmuje wartości dodatnie a kiedy ujemne i te przedziały zapisać.