Question

4. Obliczyć moment bezwładności rury grubościennej o grubości ścian d i masie M względem osi pokrywającej się z osią rury.

Answer 1

To spróbujmy bez całkowania :P

Załóżmy, że zewnętrzny promień rury wynosi R , a wewnętrzny r.   Oczywiście r = R - d , ale to można wykorzystać na końcu.
Niech długość rury będzie na przykład H, a gęstość jej materiału ρ.

Można sobie wyobrazić, że rura powstaje z odjęcia dwóch pełnych walców: jeden większy o promieniu R i drugi mniejszy o promieniu r.
Masy tych walców to odpowiednio:
m" = ρ·V" = ρ·π·R²·H           i             m' = ρ·V' = ρ·π·r²·H
Masa rury:  M = m" - m' = ρ·π·(R² - r²)·H

Podobnie z momentami bezwładności względem osi.
I" = m"·R²/2 = ρ·π·R²·H·R²/2 = ρ·π·R⁴·H/2
I' = m'·r²/2 = ρ·π·r²·H·r²/2 = ρ·π·r⁴·H/2

Szukany moment bezwładności rury względem jej osi:    I = I" - I'
I = ρ·π·(R⁴ - r⁴)·H/2

Teraz skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia: R⁴ - r⁴ = (R² - r²)·(R² + r²)

I = ρ·π·(R² - r²)·(R² + r²)·H/2  , a po wykorzystaniu wzoru na masę M rury mamy:

I = M·(R² + r²)/2

Teraz jak ktoś chce może wstawić też r = R - d

I = M·(R² + (R - d)²)/2 = M·(2·R² - 2·R·d + d²)/2