Oblicz iloraz ciągu geometrycznego o podanych wyrazach początkowych. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu .... Question from @AstraySpirit2308

August 2022 1 60 Report

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego o podanych wyrazach początkowych. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu i oblicz a7.
a) 128, 64, 32
b) 1/16, 1/4, 1

animaldk

Verified answer

Ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz ciągu geometrycznego o podanych wyrazach początkowych. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu i oblicz a₇.

a) 128, 64, 32

b) 1/16, 1/4, 1.

Rozwiązania:

$a_1=128,\ a_2=64,\ a_3=32\\\\q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...\\\\q=\dfrac{64}{128}\\\\\huge\boxed{q=\dfrac{1}{2}}\\\\a_n=128\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=2^7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-7}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\\\=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-7+n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-8}$

Ostatecznie:

$\huge\boxed{a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-8}}$

$a_7=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7-8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\\\\\huge\boxed{a_7=2}$

$a_1=\dfrac{1}{16},\ a_2=\dfrac{1}{4},\ a_3=1\\\\q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...\\\\q=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{16}{1}\\\\\huge\boxed{q=4}$

$a_n=\dfrac{1}{16}\cdot4^{n-1}=\dfrac{1}{4^2}\cdot4^{n-1}=\dfrac{4^{n-1}}{4^2}=4^{n-1-2}\\\\\huge\boxed{a_n=4^{n-3}}$

$a_7=4^{7-3}=4^4\\\\\huge\boxed{a_7=256}$

Opis:

Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę różną od zera zwaną ilorazem ciągu.

Iloraz q obliczamy korzystając z:

$q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$