Question

Diketahui fungsi g(x) = 1/3x^3 - A^2 x + 1.
f(x) = g(2x - 1). A adalah suatu konstanta. Jika f naik pd x<0 (ada sama dengannya) atau x>1 (ada sama dengannya) nilai minimum relatif g adalah ...

Answer 1

Kelas: 11
Mapel: Matematika
Kategori: Turunan
Kata kunci: aplikasi turunan, nilai minimum relatif g
Kode: 11.2.8 (Kelas 11 Matematika Bab 8-Turunan)

Diketahui fungsi g(x) = 1/3x³ - A² x + 1. 
f(x) = g(2x - 1). A adalah suatu konstanta. Jika f naik pada x≤0 atau x≥1 nilai minimum relatif g adalah ...

Pembahasan:

g(x) = 1/3x³ - A² x + 1
cari dulu nilai f(x) nya :
f(x) = g(2x-1)
f(x) = 1/3 (2x-1)³-A² (2x-1)+1
f(x) = 1/3 (2x-1)³-2A²x+A²+1

fungsi naik pada f'(x)≥0
f'(x) = (3)(1/3)(2x-1)²(2)-2A² ≥ 0
f'(x) = 2(2x-1)²-2A² ≥ 0

fungsi naik pada interval x≤0 atau x≥1
artinya x=0 dan x=1 adalah pembuat nol pada pertidaksamaan diatas, subtitusi x=0 atau x=1 untuk mencari nilai A².

untuk x = 0
f'(0) = 0
2(2x-1)²-2A² = 0
2(2(0)-1)²-2A² = 0
2-2A² = 0
2A² = 2
A² = 2/2
A² = 1

g(x) = 1/3 x³ - A² x + 1
g(x) = 1/3 x³ - x + 1

g akan minimum atau maksimum jika g'(x)=0
g'(x) = 0
3(1/3) x²-1 = 0
x²-1=0
(x+1)(x-1) = 0
x= -1 atau x= 1

untuk x = -1
⇒ g(-1)= 1/3 (-1)³-(-1)+1
= -1/3 +1+1
= -1/3 +2
= -1/3 + 6/3
= 5/3

untuk x=1
⇒g(1)= 1/3 (1)³-1+1
= 1/3 -1+1
= 1/3

nilai minimum relatif g(x) adalah 1/3
nilai maksimum relatif g(x) adalah 5/3

Semangat belajar!
Semoga membantu :)