1. Sprawdź czy punkty P (-1,-1), Q (2,8), R (90,273) należą do wykresu tej samej funkcji liniowej.2.... Question from @Falthorn

October 2018 1 11 Report

1. Sprawdź czy punkty P (-1,-1), Q (2,8), R (90,273) należą do wykresu tej samej funkcji liniowej.

2. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji f(x) = -2/5x - 4 z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole obszaru ograniczonego osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji f.

3. Dana jest prosta l o równaniu \sqrt{3} (5x - 2y) = 6. Wyznacz równanie funkcji f, której wykresem jest prosta k, prostopadła do prostej l i przechodząca przez punkt P (-5,1).

4. Określ monotoniczność funkcji f(x) = (4 - 2/3m) x - 5 w zależności od parametru m.

5. Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba -3. Wyznacz wzór tej funkcji, wiedząc, że do jej wykresu należy punkt A (-1,4)

6. Wyznacz te wartości parametru m i k, dla których rozwiązaniem układu równań

\left \{ {{mx - ky = 7} \atop {2kx + (m + 1)y = 4}} \right.

jest para liczb x = 2 i y = 3

Bardzo proszę o jasne zrobienie zadania, pokolei, żebym mógł to też zrozumieć. Daję naj!

heh

zad 1

1. Wyznaczam prostą, przechodzącą przez dwa z trzech danych punktów:

P(-1,-1), Q(2,8)

{-1=-a+b

{8=2a+b

---

{b=a-1

{8=2a+a-1

---

{b=a-1

{3a=9

---

{b=a-1

{a=3

---

{b=3-1

{a=3

---

{b=2

{a=3

Prosta która przechodzi przez punkty P i Q: y=3x+2

----------------------------------------------------------------------

2. Sprawdzam czy punkt R(90, 273) należy do prostej y=3x+2:

[Jeżeli dostanę równość to punkt R będzie należał do prostej - czyli przez wszystkie trzy punkty przechodzi jedna prosta (punkty są współliniowe); w przeciwnym wypadku - punkty nie leżą na tej samej prostej]

y=3x+2

273=3*90+2

273=270+2

273≠272

Odp. Przez punkty nie przechodzi ta sama prosta (nie są współliniowe).

===================================

zad 2

f(x)=-2/5 x - 4

1. Punkty przecięcia wykresu z osiami:

-- z osią Ox:

P₁(x, 0)=P₁(-10, 0)

0=-2/5 x -4

2/5 x=-4 |*5/2

x=-10

-- z osią Oy:

P₂(0, y)=P₂(0, -4)

y=-2/5 * 0 -4

y=-4

----------------------------------------------------------------------

2. Pole obszaru ograniczonego przez prostą i osie układu współrzędnych:

[Wykres w załączniku]

Obszar ograniczony przez prostą i osie układu współrzędnych to trójkąt prostokątny w którym długości wysokości oraz podstawy (lub przyprostokątne) to odległośći punktów P₁ i P₂ od początku układu współrzędnych. Obliczamy je następująco:

|OP₁|=|0-(-10)|

|OP₁|=|0+10|

|OP₁|=|10|

|OP₁|=10

|OP₂|=|0-(-4)|

|OP₂|=|0+4|

|OP₂|=|4|

|OP₂|=4

Pole trójkąta OP₁P₂:

$P=\frac{|OP_{1}|*|OP_{2}|}{2}\\ P=\frac{10*4}{2}\\ P=\frac{40}{2}\\ P=20\ [j^{2}]$

===================================

zad 3

Warunek prostopadłości prostych:

Dane są dwie proste w postaciach kierunkowych:

y=a₁x+b₁

y=a₂x+b₂

proste te są prostopadłe wtw, gdy spełniony jest warunek:

a₁=-1/a₂

----------------------------------------------------------------------

1. Przekształcam równanie prostej do postaci kierunkowej:

$>[Usuwam niewymierność z mianownika]<img src=$

----------------------------------------------------------------------

2. Ustalam współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej (z warunku prostopadłości):

$a_{1}=\frac{5}{2}\\ a_{2}=-\frac{1}{a_{1}}\\ a_{2}=-\frac{1}{\frac{5}{2}}\\ a_{2}=-1*\frac{2}{5}\\ a_{2}=-\frac{2}{5}$

----------------------------------------------------------------------

3. Równanie prostej prostopadłej:

Prosta prostopadła przechodzi przez punkt P(-5, 1).

$y=a_{2}x+b\\ 1=-\frac{2}{5}*(-5)+b\\ 1=2+b\\ b=1-2\\ b=-1$

Równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez punkt P:

$y=-\frac{2}{5}x-1$

===================================

zad 4

Monotoniczność funkcji liniowej y=ax+b:

-- funkcja jest rosnąca gdy współczynnik kierunkowy a>0,

-- funkcja jest stała gdy współczynnik kierunkowy a>0,

-- funkcja jest malejąca gdy współczynnik kierunkowy a>0.

----------------------------------------------------------------------

$f(x)=(4-\frac{2}{3}m)x-5\\ a=4-\frac{2}{3}m$

---------------------------------------------------------------------

1. Funkcja rosnąca:

$a>0\\ 4-\frac{2}{3}m>0\\ -\frac{2}{3}m>-4\ |*(-\frac{3}{2})\\ m<6$

Dla m∈(-∞, 6) funkcja f(x) jest rosnąca.

-----------------------------------------------------------------------

2. Funkcja stała:

$a=0\\ 4-\frac{2}{3}m=0\\ -\frac{2}{3}m=-4\ |*(-\frac{3}{2})\\ m=6$

Dla m=6 funkcja f(x) jest stała.

-----------------------------------------------------------------------

3. Funkcja malejąca:

$a<0\\ 4-\frac{2}{3}m<0\\ -\frac{2}{3}m<-4\ |*(-\frac{3}{2})\\ m>6$

Dla m∈(6, ∞) funkcja f(x) jest malejąca.

[Uwaga: Kiedy mnożymy/ dzielimy nierówność przez liczbę ujemną jej znak zmienia się na przeciwny]

===================================

zad 5

1. Miejsce zerowe to miejsce w którym wykres funkcji przecina się z osią Ox [wartość y=0, M(x, 0)].

Czyli miejsce zerowe danej funkcji liniowej możena zapisać: M(-3, 0).

----------------------------------------------------------------------

2. Funkcja przechodzi przez punkt M(-3, 0) oraz A(-1, 4):

{0=-3a+b

{4=-a+b

---

{b=3a

{4=-a+3a

---

{b=3a

{2a=4

---

{b=3a

{a=2

---

{b=3*2

{a=2

---

{b=6

{a=2

Wzór funkcji przechodzącej przez punkty M i A: y=2x+6

===================================

zad 6

$\left \{ {{mx - ky = 7} \atop {2kx + (m + 1)y = 4}} \right$

Punkt o współrzędnych x=2 i y=3 [P(2, 3)] spełnia powyższy układ równań, zatem:

$\left \{ {{2m - 3k = 7} \atop {2*2k + 3(m + 1) = 4}} \right\\ \left \{ {{2m - 3k = 7} \atop {4k + 3m + 3 = 4}} \right\\$

[Metoda przeciwnych współczynników]

$\left \{ {{2m - 3k = 7\ |*(-3)} \atop {3m+4k= 1}\ |*2} \right\\ +\left \{ {{-6m + 9k = -21} \atop {6m+8k= 2}} \right\\ -------\\ 17k=-19\\ k=-\frac{19}{17}$

$\left \{ {{2m - 3k = 7\ |*4} \atop {3m+4k= 1}\ |*3} \right\\ +\left \{ {{8m -12k = 28} \atop {9m+12k= 3}} \right\\ -------\\ 17m=31\\ m=\frac{31}{17}$