Question

udowodnij że jeśli x,y,z są liczbami rzeczywistymi takimi że x+y+z=1,to xdo2+ydo2+zdo2(większerówne)1/3

Answer 1

najpierw trzeba wyprowadzić taką zależność:

x^2 - x do kwadratu

 

x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 ≥ 0

więc:

x^2 + y^2 ≥ 2xy

 

No i teraz:

 

(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

więc:

 

x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2xy - 2xz - 2yz

podstawiamy pod nawias 1

 

x^2 + y^2 + z^2 = 1 - 2xy - 2xz - 2yz

x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz)

 

i teraz korzystamy z wyprowadzonego równania:

 

2xy + 2xz + 2yz ≤ x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2

 

i to podstawiamy do równania:

 

x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz) ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2) (bo odejmujemy, a nie dodajemy nawias, więc musimy zrobić, że jest większe lub równe)

 

x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2)

x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (2x^2 + 2y^2 + 2z^2)   obustronnie dodajemy nawias

3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ 1  

x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3