udowodnij że jeśli x,y,z są liczbami rzeczywistymi takimi że x+y+z=1,to xdo2+ydo2+zdo2(większerówne)1/3
najpierw trzeba wyprowadzić taką zależność:
x^2 - x do kwadratu
x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 ≥ 0
więc:
x^2 + y^2 ≥ 2xy
No i teraz:
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2xy - 2xz - 2yz
podstawiamy pod nawias 1
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - 2xy - 2xz - 2yz
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz)
i teraz korzystamy z wyprowadzonego równania:
2xy + 2xz + 2yz ≤ x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2
i to podstawiamy do równania:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz) ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2) (bo odejmujemy, a nie dodajemy nawias, więc musimy zrobić, że jest większe lub równe)
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2)
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (2x^2 + 2y^2 + 2z^2) obustronnie dodajemy nawias
3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ 1
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
najpierw trzeba wyprowadzić taką zależność:
x^2 - x do kwadratu
x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 ≥ 0
więc:
x^2 + y^2 ≥ 2xy
No i teraz:
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
więc:
x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2xy - 2xz - 2yz
podstawiamy pod nawias 1
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - 2xy - 2xz - 2yz
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz)
i teraz korzystamy z wyprowadzonego równania:
2xy + 2xz + 2yz ≤ x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2
i to podstawiamy do równania:
x^2 + y^2 + z^2 = 1 - (2xy + 2xz + 2yz) ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2) (bo odejmujemy, a nie dodajemy nawias, więc musimy zrobić, że jest większe lub równe)
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (x^2 + y^2 + x^2 + z^2 + y^2 + z^2)
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 - (2x^2 + 2y^2 + 2z^2) obustronnie dodajemy nawias
3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ 1
x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3