Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc,że alfa= (0,180) oraz : a) cosalfa = .... Question from @BOHATERKAAA

June 2022 1 9 Report

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc,że alfa= (0,180) oraz :

a) cosalfa = -24/25
b) sinalfa = √5/3

unicorn05

Odpowiedź:

a) $\bold{\sin\alpha=\frac7{25},\quad\text{tg\,}\alpha=-\frac7{25},\quad\text{ctg\,}\alpha=-3\frac37}$

b) $\bold{\cos\alpha=\frac23\,,\quad\text{tg\,}\alpha=\frac{\sqrt5}2\,,\quad\text{ctg\,}\alpha=\frac{2\sqrt5}5}\\lub:\\\bold{\cos\alpha=-\frac23\,,\quad\text{tg\,}\alpha= -\frac{\sqrt5}2\,,\quad\text{ctg\,}\alpha=-\frac{2\sqrt5}5}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\ ,\qquad \text{tg\,}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ ,\qquad \text{ctg\,}\alpha=\dfrac{1}{\text{tg\,}\alpha}$

a)

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+(-\frac{24}{25})^2=1\\\\\sin^2\alpha+\frac{576}{625}=1\\\\\sin^2\alpha=\frac{49}{625}\quad\wedge\quad \alpha\in(0^o,180^o)\\\\\sin\alpha=\frac7{25}\\\\ \\\text{tg\,}\alpha=\dfrac{\frac7{25}}{-\frac{24}{25}}=-\frac7{25}\cdot\frac{25}{24}=-\frac7{24}\\\\ \\\text{ctg\,}\alpha=\dfrac{1}{-\frac7{24}}=-\frac{24}7=-3\frac37$

b)

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\(\frac{\sqrt5}{3})^2+\cos^2\alpha=1\\\\ \frac{5}{9}+\cos^2\alpha=1\\\\\cos^2\alpha=\frac{4}{9}\quad\wedge\quad \alpha\in(0^o,180^o)\\\\\cos\alpha=\frac23\qquad\vee\qquad\cos\alpha=- \frac23\\\\ \\\text{tg\,}\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt5}3}{\frac23}=\frac{\sqrt5}2\qquad\vee\qquad\text{tg\,}\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt5}3}{-\frac23}=-\frac{\sqrt5}2$

$\text{ctg\,}\alpha=\dfrac{1}{\frac{\sqrt5}2}=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5\quad\vee\quad\text{ctg\,}\alpha=\dfrac{1}{-\frac{\sqrt5}2}=-\frac{2\sqrt5}5$