Question

Liceum: Jednokładność i podobieństwo (rysunek w załączniku)
Odcinki ED i FG na rysunku ( w załączniku) są równoległe do AB i AE=EF=1/3AC.
Mając dane pole trapezu ABDE równe S, oblicz pole trójkąta FCG oraz pole trapezu EDGF.

Answer 1

Zauważamy, że trójkąty ABC i CFG są podobne, bo z Tw. Talesa widzimy, że FC:FG=AC:AB i mamy dane że FC=1/3 AC, więc
1/3AC:FG=AC:AB po podzieleniu przez AC obu stron otrzymujemy:
FG=1/3AB.
Czyli na podstawie cechy bkb mamy stosunek odpowiednich boków w tych trójkatach jest równy i kąt pomiędzy nimi jest równy, więc te trójkąty są podobne.
skala podobieństwa trójkątów CFG i ABC wynosi =1/3
Definicja:
Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
zatem:
PΔCFG/PΔABC = (1/3)²
stąd:
PΔCFG=1/9 PΔABC

Również trójkąty CED i ABC są podobne (tak samo można to z Tw. Talesa udowodnić). Skala podobieństwa wynosi 2:3,
zatem:
PΔCED/PΔABC=(2/3)²
PΔCED/PΔABC=4/9 mnożymy na krzyż:
9*PΔCED=4*PΔABC |:9
PΔCED=4/9 PΔABC

Pole trapezu ABDE jest dane = S
Wyznaczyć je można również jako różnicę pól trójkątów:
Pole trapezu ABDE = PΔABC-PΔCED
S=PΔABC- (4/9*PΔABC)
S=5/9*PΔABC
stąd
PΔABC=9/5 S

z poprzednich ustaleń wiemy że PΔCFG=1/9*PΔABC, zatem
PΔCFG=1/9*9/5 S= 1/5S (ODPOWIEDŹ 1)

Mamy też obliczyć pole trapezu FEDG, a jest on różnicą pól:
Pole trapezu FEDG=PΔABC-PΔCFG-PABDE
Pole trapezu FEDG= 9/5 S - 1/5 S - S
Pole trapezu FEDG = 3/5 S (ODPOWIEDŹ 2 !!!)