Question

dany jest ciąg an= (4n-90)/3

a) oblicz a20

b) którym wyrazem tego ciągu jest liczba 50

c) ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg

Answer 1

N – liczby naturalne

Dane:
an=( 4n-90)/3

Szukane:
a) a20, 
b) n, dla którego an=50, 
c) wyrazy ujemne ciągu

Rozwiązanie:
a)
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an=a1+(n-1)r, gdzie r –różnica
Analogicznie:
a20=a1+(20-1)r=a1+19r
Szukam pierwszego wyrazu danego ciągu:
a1=(4*1-90)/3=(4-90)/3= -86/3
Aby obliczyć r, wyznaczam także drugi wyraz ciągu. Różnica a2 i a1będzie szukanym r.
a2=(4*2-90)/3= (8-90)/3= -82/3
a2-a1=r 
to:
r= (-82/3)-(-86/3)=-82/3+86/3=4/3
Teraz mogę już obliczyć dwudziesty wyraz tego ciągu, podstawiając do wyprowadzonego powyżej wzoru.
a20=(-86/3)+19*4/3= -86/3+76/3= -10/3= - 3 i 1/3

Odpowiedź: Dwudziesty wyraz tego ciągu wynosi -3 i 1/3.

b)
an=50
Więc:
(-86/3)+(n-1)*4/3 = 50
-86/3+4/3 n – 4/3 = 50
-90/3+4/3 n = 50
-30 + 4/3 n = 50 / +30
4/3 n = 80 / :4/3
n= 60

Odpowiedź: Sześćdziesiąty wyraz tego ciągu przyjmuje wartość 50. 

c)
Szukamy zatem ilości wszystkich an<0. Można to osiągnąć np. ustalając, który z kolei wyraz jest pierwszym wyrazem o wartości dodatniej – wówczas będzie można postawić tezę, iż wszystkie od niego mniejsze są wyrazami ujemnymi. Przyjmujemy, że pierwszą liczbą dodatnią jest 0, sprawdzamy więc, czy istnieje an=0. Jeśli w wyniku otrzymamy liczbę nie naturalną, będziemy jednak mogli przyjąć, że dla n najbliższego otrzymanemu wynikowi ciąg przyjmuje wartość większą od 0. 
Obliczając an=0 wykorzystam obliczenia podane powyżej i „przejdę” od razu do 3. punktu obliczeń, modyfikując go adekwatnie do treści zadania.
-30+4/3 n = 0 / :+30
4/3 n = 30 / :4/3
n= 90/4= 22,5 
Sprawdźmy więc, jaką wartość przyjmuje wyraz o n najbliższym 22,5, więca23 (zaokrąglamy zgodnie z zasadami 22,5 w górę).
a23=a1+22r
a23=(-86/3)+22*4/3= -86/3+88/3= 2/3 >0 
Tym samym, wiemy, że wyrazy a1-a22 włącznie są wyrazami ujemnymi, jest więc ich 22.
Można też dokonać wyliczeń prostszym sposobem, szukając an<0:
-30+4/3 n <0 / +30
4/3 n < 30 / :4/3 n ma należeć do N
n < 22,5 więc n należy do zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22}
Odpowiedź: Ciąg przyjmuje wartości ujemne dla 22 wyrazów (wyrazya1-a22).

LICZE NA NAJ :)