Question

34x5y2 jest podzielna przez 36. Wyznacz xi y. Pilne potrzebuję w ciągu 20-40 minut. :)

Answer 1

Aby liczba była podzielna przez 36 musi być podzielna przez: 2, 3, 4, 6, 9, 

Liczba jest parzysta, czyli jest również podzielna przez 2.

Aby była podzielna przez 3, suma jej cyfr musi być podzielna przez 3, czyli x+y∈{1,4,7,10,13,15,18}

Aby liczba była podzielna przez 4, liczba utworzona z jej cyfry dziesiątek i jedności musi być podzielna przez 4 czyli y∈{1,3,5,7,9}

Aby liczba była podzielna przez 6 musi być podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3. Te warunki już zostały opisane.

Aby liczba była podzielna przez 9, suma jej cyfr musi być podzielna przez 9, czyli: x+y∈{4,13}

Liczby, które jednocześnie spełniają te warunki to:

343512

341532

348552

346572

344592

Answer 2

36 | 34x5y2

x, y ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Aby liczba była podzielna przez 36 musi być podzielna przez 6, czyli przez 2 i 3 lub musi być podzielna przez 4 i 9.

 

Wykorzystamy właśność, że musi byc pdzielna przez 4 i 9.

 

4 | 34x5y2

Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, zatem

4 | y2 ⇒ y ∈ {1; 3; 5; 7; 9}

 

9| 34x5y2

Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9, zatem

9 | 3 + 4 + x + 5 + y + 2 = x + y + 14

czyli suma x + y + 14 musi być liczbą podzielną przez 9.

Wiemy, że y ∈ {1; 3; 5; 7; 9}, stąd:

y = 1  ⇒  9 | x + 15 ⇒ x = 3, czyli otrzymujemy liczbę 343512

y = 3  ⇒  9 | x + 17 ⇒ x = 1, czyli otrzymujemy liczbę 341532

y = 5  ⇒  9 | x + 19 ⇒ x = 8, czyli otrzymujemy liczbę 348552

y = 7  ⇒  9 | x + 21 ⇒ x = 6, czyli otrzymujemy liczbę 346572

y = 9  ⇒  9 | x + 23 ⇒ x = 4, czyli otrzymujemy liczbę 344592

 

Odp. Warunek podany w treści zadania spełniają pary liczb (x; y): (3; 1), (1; 3), (8; 5), (6; 7) i (4; 9).