Question

W trójkąt ABC wpisano okrąg. Oblicz długość odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki trójkąt, wiedzac, ze /AB/=20cm,/AC/=16cm, /BC/=32cm.

Answer 1

Wprowadźmy kilka oznaczeń:
D - punkt styczności na boku AC
E - punkt styczności na boku AB
F - punkt styczności na boku BC
x,y,z - szukane długości odcinków

Skorzystamy na początek z własności stycznych do okręgu. Mianowicie na stycznych wychodzących z jednego punktu poza okręgiem powstają równe odcinki o początku w tym punkcie i końcach w punktach styczności. Czyli
|AE| = |AD| = x
|EB| = |BF| = y
|CD| = |CF| = z

Ponadto:
|AB| = 20 = x + y
|AC| = 16 = x + z
|BC| = 32 = y + z

Mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
20 = x + y , stąd x = 20 - y
16 = x + z
32 = y + z

16 = 20 - y + z
32 = y + z

-4 = -y + z
32 = y + z
_________ +
28 = 2z
z = 14

32 = y + 14
y = 18

x = 20 - 18
x = 2

Sprawdzenie:
|AB| = x + y = 2 + 18 = 20
|AC| = x + z = 2 + 14 = 16
|BC| = y + z = 18 + 14 = 32

Zatem punkty styczności podzieliły boki na odcinki o długości: 2, 18, 14, przy czym:
AB na 2 i 18;
AC na 2 i 14;
BC na 18 i 14.