Question

Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji
a) g(x) = (ln(x))^3
b) g(x) = ( x^2 +3 )^(1/3)

Answer 1

D: x>0
[ (ln(x))^3 ] ' ' = [ 3 (lnx)^2 * 1/x ] ' = 3 ( (2 ln x * 1/x * x - (lnx)^2 ) /x^2 ) 
 3 ( (2 ln x * 1/x * x - (lnx)^2 ) /x^2 ) =0
(2 ln x * 1/x * x - (lnx)^2 ) /x^2 =0
2 ln x * 1/x * x - (lnx)^2 =0
2 ln x - (lnx)^2 =0
lnx (2- lnx)=0

lnx=0
x=1
lnx=2
x=e^2
g(x) '' = 3* ( lnx (2- lnx) ) x^2 badanie znaku drugiej pochodnej

xe (0 ; 1 )   //  - * + * + // g'' <0  -g wklęsła
     (1,e^2)  // + * + * + // g''>0    - g wypukła
     (e^2 ; + oo) // + * - * + // g''<0 g wklęsla

// g'' > 0 to g - wypukła ; zależy od przyjętej definicji na wykładzie//

----
D=R
[( x^2 +3 )^(1/3) ]' = 1/3 ( (x^2 +3 ) ^ (-2/3) * 2x 
[1/3 ( (x^2 +3 ) ^ (-2/3) * 2x ]' = 1/3 * [ -2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *2x *2x + (x^2+3)^(-2/3) *2x *2]
w tej postaci miejsce zerowe nie wygląda atrakcyjnie;)

 1/3 * [ -2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *2x *2x + (x^2+3)^(-2/3) *2x *2] =0
4/3  [ -2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *x^2 + (x^2+3)^(-2/3) *x] =0
x * [-2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *x + (x^2+3)^(-2/3) ]=0
 x = 0 - punkt podejrzany o przegięcie
[-2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *x + (x^2+3)^(-2/3) ]=0
(x^2+3)^(-2/3) [ -2/3 (x^2 +3) ^(-3/3) *x + 1] =0
(x^2+3)^(-2/3)<>0 i (x^2+3)^(-2/3)>0
[-2/3 * (x^2 +3) ^(-3/3) *x + 1] =0
[-2/3  * (x^2 +3) ^(-1) *x + 1] =0
[-2/3 * (x^2 +3) ^(-1) *x + (x^2 +3) * (x^2 +3)^(-1) *(3/3)] =0
3x -2 (x^2 +3)=0
-2 * x^2+3x+-6=0 delta=9-48  // i tutaj mogłem mieć błąd rachunkowy :(
wyszłoby stale ukejmny

jedynie x=0
x * [-2/3 * (x^2 +3) ^(-5/3) *x + (x^2+3)^(-2/3) ]=0 badanie znaku g''
(-oo , 0) // - * (  stale ujemny ?) // g''>0   - g wypukła
(0, +oo) // + * (stale ujemny ?) // g''<0   - g wklęsła

Sprawdź miejsca zerowe.
Artur