Question

Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji: f(x)=e^x[(x-1)^2 *x] Pomocy! U mnie wychodzi max.lok w -1/3 a min lokalne w 1 funkcji rośnie w przedziałach (1,nieskończoność) a maleje (-nieskończoność, -1/3) i (-1/3,1) Czy powyższe wyniki są prawidłowe?

Answer 1

f(x) = e^x *[ ( x - 1)^2 * x] = e^x *[ (x^2 - 2x + 1)*x] = e^x *[ x^3 -2 x^2 + x]

Obliczam pierwszą pochodną danej funkcji

f'(x) = e^x *[ x^3 -2 x^2 + x] + e^x *[ 3 x^2 - 4  x + 1] =

= e^x *[ x^3 + x^2 - 3 x + 1 ]

e^x *[ x^3 + x^2 - 3 x + 1] = 0 <=> x^3 + x^2 - 3 x + 1 = 0

x = 1  jest pierwiastkiem, bo

1^3 + 1^2 -3*1 + 1 = 3 - 3 = 0

zatem można pozdzielic przez ( x - 1)

Wykonuje dzielenie:

 

( x^3 + x^2 - 3 x + 1] : ( x - 1) = x^2 + 2 x - 1

- x^3 + x^2

------------------------

........ 2 x^2 - 3 x

....... - 2 x^2+ 2 x

--------------------------

................  - x + 1

................... x - 1

-------------------------------

....................... 0

 

Rozwiązuję równanie

x62 + 2 x - 1 = 0

delta = 2^2 - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8 = 4*2

p( delty) = 2 p(2)

x = [ - 2 - 2 p(2)]/2 = - 1 - p(2)

lub

x = [- 2 + 2 p(2)]/2 = - 1 + p(2)

 

Obliczam drugą pochodną danej funkcji

f'' ( x) = e^x *(x^3 + x^2 - 3 x + 1) + e^x *[ 3 x^2 + 2 x - 3 ] =

= e^x *[ x^3 + 4 x^2 - x - 2 ]

Obliczam wartości drugich pochodnych  dla x1 = - 1 - p(2), x2 = - 1 + p(2), x3 = 1

f''( x1) = e^( -1 -p(2))*[ ( - 1 -p(2))^3

 

 

cdn. w załączniku