Question

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy dł. a=8. Krawędz boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem alfa, że cos alfa= 2/3. wyznacz V i Pp bocznej ostrosłupa.

Answer 1

Podstawą jest kwadrat
przekątna podstawy
d=a√2=8√2
krawędź boczna, wysokość i połowa przekątnej tworzą trójkąt prostokątny gdzie kąt α jest między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy
cosα=(d/2)/b gdzie b jest to krawędź boczna
b=(d/2)/cosα=4√2/(2/3)=6√2
z twierdzenia Pitagorasa
(d/2)²+h²=b² gdzie h - wysokość ostrosłupa
h=√[b²-(d/2)²]=√[(6√2)²-(4√2)²]=√40=2√10
V=(1/3)*a²*h=(1/3)*8²*2√10=128√10/3 cm³
wysokość ściany bocznej
(a/2)²+H²=b² gdzie H - wysokość ściany bocznej
H=√[b²-(a/2)²]=√[(6√2)²-4²]=√56=2√14
Pb=4*(1/2)*a*H=4*(1/2)*8*2√14=32√14 cm²