Question

Prawdopodobieństwo tego, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń jest p= 1/3. Prowadzący ćwiczenia wybiera przypadkowo 4 osoby. Niech x oznacza liczbę osób spośród wybranych, które nie są przygotowane do ćwiczeń. Znajdź prawdopodobieństwo że co najmniej 2 osoby są przygotowane do ćwiczeń. Naszkicuj wykres histogramu i dystrybuanty.

Proszę wraz z wykresami!!

Answer 1

Jest to rozkład dwumianowy (zwany inaczej zero-jedynkowym), dla którego prawdopodobieństwo zdarzeń sprzyjających (sukcesów) p = 1/3, a niesprzyjających (porażek) q = 1 - p = 2/3. Liczba prób n = 4, k = liczba osób przygotowanych.
Wzór na prawdopodobieństwo dla k osób przygotowanych (sukcesów):

Prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 osoby są przygotowane jest równe różnicy 1 i sumy prawdopodobieństw, że są przygotowane 3 lub 4 osoby.
Po podstawieniu do wzoru otrzymamy wartości prawdopodobieństw dla k=0...4:


Punkty te możemy nanieść na wykres, który będzie histogramem.
Dystrybuanta zaś jest funkcją F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych, taką, że:
F(x) = P(X ≤ x)
Czasami się podaje definicję F(x) = P(X < x) - czyli nierówność ostra.
Nasz przypadek jest ograniczony oczywiście do liczb naturalnych. Mówimy wtedy o dyskretnym rozkładzie prawdopodobieństwa. Wykres funkcji P(x) będzie zbiorem pojedynczych punktów, a F(x) zbiorem odcinków równoległych lewostronnie domkniętych.
Własnościami dystrybuanty są:

Np. F(3) oznacza prawdopodobieństwo, że co najmniej 3 studentów było przygotowanych, tzn. że nie był żaden lub tylko 1 przygotowany, czyli:

Nas interesuje przypadek:


W załączniku 2 wykresy w dwóch kolorach w jednym układzie współrzędnych.
Pozostałe wartości dystrybuanty wyliczysz sam na podstawie przykładu z F(2).