Question

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość d i tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, wiedząc, że:
d = 20 cm, tg α = 4/3

Proszę o szybką odpowiedź.

Answer 1

Mamy prostopadłościan o podstawie kwadratowej ABCDEFGH
gdzie kwadrat ABCD podstawa dolna, a kwadrat EFGH podstawa
górna.Niech d =BH.
AB =BC=CD =AD = a
AE =BF =CG =DH =h
oraz niech AH =x
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny ABH
alfa - kąt o wierzchołku B i ramionach AB i BH.
Mamy a/d =cos alfa
x/d = sin alfa
sin alfa/cos alfa = tg alfa
[x/d]:[a/d] =[x/d]*[d/a] =x/a =tg alfa --> x =a*tg alfa
x= a*(4/3) =(4/3)*a
x^2 +a^2 = d^2
[(4/3)*a]^2 + a^2 =d^2
Stad otrzymujemy a=(3/5)*d =(3/5)*20 =12
a = 12 cm
x =(4/3)*a =(4/3)*12 = 16
x= 16 cm
h^2 +a^2 =x^2

h^2 =x^2 - a^2 =16^2 - 12^2 =256 - 144 =112 = 16*7
h =4*pierwiastek kw. z 7
Podstawy mają pola
Pp =a*a =12cm*12cm =144cm^2
Ściany boczne maja pola
Pb =a*h =12 cm*4*pierwiastek kw. z 7cm =
= 48*pierw. kw.z 7cm^2
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa =
4*Pb = 4*48*pierw. kw. z 7 =192*pierw. kw. z 7
Odp. 192*pierw. kw. z 7 cm^2
Dodatkowo pole powierzchni całkowitej jest równe
P =4*Pb + 2*Pp = [192*pierw. kw. z 7 + 288 ]cm^2